死んだ推測の死亡記事

ある時点で多くの人に信頼されていると考えられていたアルゴリズムと複雑さについての推測を探していますが、後にそれらは反証の台頭により反証されるか、少なくとも信じられませんでした。以下に2つの例を示します。

1. ランダムオラクル仮説：ほとんどすべての相対化された世界に適用される複雑性クラス間の関係は、相対化されていない場合にも適用されます。これは、結果によって反証され、がほぼすべてのランダムなオラクルに適用されることを示すことにより、「ランダムなオラクル仮説は偽」を参照してください。I P X ≠ P S P A C E X$IP=PSPACE$$IP^X\neq PSPACE^X$$X$

2. 有界エラーのランダム性は、多項式時間のパワーを適切に拡張します（つまり、）。これはしばらくの間信じられていましたが、後に、洗練されたランダム化解除の結果と回路の複雑性への接続のために、反対の推測（）が普及しました（まだ開いています）。P = B P $P\neq BPP$$P=BPP$

時の試練に失敗した他の推測はどれですか？

$\mathsf{NL} \neq \mathsf{coNL}$。これら2つが等しいという結果が出る前に、（つまり、「非決定論と共非決定論は異なります」;これは、少なくとも対数であった空間の複雑さの境界の下で偽であることが判明しました。$\mathsf{NP} \neq \mathsf{coNP}$

前、それがあってもいる可能性が考えられたに含まれていなかった：でFortnow-Sipser 1988彼らはケースのように、これを推測し、得られましたそれが真実だったオラクルの相対的な。$\mathsf{IP} = \mathsf{PSPACE}$$\mathsf{coNP}$$\mathsf{IP}$

一定幅の分岐プログラムは数えるのに多項式の長さ以上を必要とします：1981年にFurst-Saxe-SipserとAjtaiがAC ⁰回路は数えられないことを示した後、自然な次のステップは多項式の一定幅の分岐プログラムを示すことであるように見えました長さは数えられませんでした。これは、保持すると広く推測されていました。1986年のデビッドバリントンは、数えることができるだけでなく、NC ¹と同等であることを示しました。

-conjecture：のための任意の決定性アルゴリズムこと必要の時間を。$\mathsf{3SUM}$$\mathsf{3SUM}$$\Omega(n^2)$

これは2014年にAllanGrønlundとSeth Pettieによって反証され、時間で実行される決定論的アルゴリズムを提供しました[1]。$O(n^2/(\log n/\log \log n)^{2/3})$

[1]三人組、退化、そして三角関係。アラン・グロンランドとセス・ペティ。Foundation of Computer Science（FOCS）2014、pp。621-630。arXiv：1404.0799 [cs.DS]

デイビス、マティヤセビッチ、パトナム、ロビンソンによるヒルベルトの10番目の問題の解決策は、再帰的に列挙可能なセットが正確にディオファントインセットであることを示しています。

（私はここで、再生していますブログの記事を、後知恵のコメントで示唆されているように、数年前から、。）

指数ディオファンタス方程式の決定問題に関するGeorg Kreiselのレビューから、Martin Davis、Hilary Putnam、およびJulia Robinson、Ann。数学の。（2）、74（3）、（1961）、425–436。MR0133227（24＃A3061）。

このペーパーは、すべての再帰的に列挙可能な（再）セットが累乗の観点から実存的に定義できることを確立します。[…]これらの結果は、ヒルベルトの（通常の、つまり非指数の）ディオファントス方程式に関するヒルベルトの10番目の問題に表面的に関連しています。著者の結果の証明は、非常にエレガントではあるが、数の理論でもリセットの理論でもreconditeの事実を使用していないため、現在の結果はヒルベルトの第10の問題と密接に関連していない可能性が高い。また、すべての（通常の）Diophantineの問題は、すべてのリセットがDiophantineである場合のように、固定された次数の固定された数の変数の問題に一様に還元できるとは考えられません。

もちろん、10番目の問題に関する私のお気に入りの引用は、Martin Davisによる序文からYuri MatiyasevichのHilbertの10番目の問題までです。

1960年代には、ヒルベルトの第10問題について講義する機会がしばしばありました。そのとき、ジュリア・ロビンソンによって定式化された条件を満たした単一のディオファンチン方程式の存在から、解けないことが生じることが知られていました。しかし、そのような方程式を作成することは非常に困難に思われ、実際、一般的な意見は、存在する可能性は低いというものでした。私の講義では、そのような方程式の存在の証明または反証から生じる重要な結果を強調します。質問の期間中、必然的に問題がどうなるかについて自分の意見を求められ、「ジュリア・ロビンソンの仮説は真実であり、それは賢い若いロシア人によって証明されると思う」と答えました。

ヒルベルトのプログラムとの正式な理論の決定可能性についての彼の「推測」。1920年代初頭に策定され、1920年代および1930年代にゲッティンゲン大学およびその他の場所で彼と彼の協力者によって追求されました。

「適切に証明理論と呼ぶことができるこの新しい数学の基礎により、数学の基本的な問題をすべての数学的な記述を具体的に展示可能かつ厳密に導出可能な式に変換し、純粋な数学の領域への質問の複雑な全体。」

ヒルベルトの提案が、ゲーデルの不完全性定理に「衝突」した（かなり迅速に[1931]）ことはよく知られています。

Hilbertのプログラムとその後の開発の概要については、Richard Zachを参照してください。ヒルベルトのプログラム 科学哲学のハンドブック。ボリューム5：論理の哲学; 2006

ストーリーの別の側面については、AndrésCaicedoの回答も参照してください。1970年にのみ解決されたヒルベルトの10番目の問題です。

Madhu Sudan *による講義で、彼はであるようなが存在するという信念があると主張しました。Håstadの3ビットPCP定理の証明の前の半正定値プログラミング。$s > 1/2$$\text{PCP}_{1,s}[ \log n, 3] \subseteq \text{P}$

確かに、SDPはを示しており、そのようなPCPの複雑さに厳しい限界を与えています。$\text{PCP}_{1,1/2}[ \log n, 3] = \text{P}$

（*マデューのこの講義は、「Rudich / Wigdersonが編集した計算複雑性理論」に掲載されています）

推測は、正式なものから非公式なものまでさまざまです。たとえば、数学の決定可能性に関するヒルベルトの有名な予想は、ヒルベルトの第10問題などのいくつかの問題に形式化されましたが、それは分野全体にわたるより壮大な非公式の予想でもありました。提案された研究プログラムとして見ることもできます。

そのような「死んだ推測の場所」を見つける簡単なレシピの1つは、「メタ」ステートメント「[x]推測は私の生涯で証明できる」と考えることです。数学の文献には、証明の難しさとアクセシビリティについての期待に完全に逆らうという意味で「偽」であることが判明したそのような記述/期待がいっぱいです。古典的なものはリーマン予想で、約1.5世紀以上開かれています。複雑性理論ははるかに若い科学分野であるため、この同じモデルを複雑性理論に適用することは簡単ではありません。ただし、ここに重要な例を示します。

P対NPの問題の早期発見（現在45年に及ぶ）には、元の調査員が問題がどれほど困難または横断的であるかを想像できなかったという点で、ある種の無実がありました。これをより具体的にするために、1980年代初期に例えばSipserによって発明された回路の複雑さの分野を検討してください。これは、P対NPを攻撃するために部分的にマウントされたヒルベルトのような研究プログラムでした。歴史的成果のいくつかは、この抽象的/序論The Computing Complexity Column、BEATCS 106で Arvindによって要約されています。

1980年代は、ブール回路の複雑さの下限の黄金期でした。大きなブレークスルーがありました。たとえば、クリーク関数を計算する単調なブール回路のRazborovの指数サイズの下限、および素数pのMOD _pゲートを持つ定深度回路のRazborov-Smolensky超多項式サイズの下限。これらの結果により、研究者は、大きな下限の質問と複雑さのクラス分離に関する進歩について楽観的になりました。しかし、過去20年間で、この楽観主義は徐々に絶望に変わっていきました。指数時間で計算可能な関数のMOD ₆ゲートを使用して、一定の深さの回路の超多項式下限を証明する方法はまだわかりません。

この分野で希望を打ち砕いた2つの重要な論文がありました。ラズボロフは、クリーク関数に関して素晴らしい/有名な結果を残しましたが、その後、2つの対立する論文を書きました。ある論文では、P時間問題であるマッチングには指数単調回路が必要であるため、ある意味で、非単調（「完全」）回路との複雑さの対応が不十分なため、下限への単調回路アプローチが妨げられました（まだ完全ではありません）理解）。

これは、Rudichと共著の有名な論文Natural Proofsで拡張されており、すべての以前の回路の下限の証明は、特定のパターンの影響を受けることが示されています。暗号化。

そのため、ある程度のサーキットは「恵みから落ちました」。まだ大規模な研究分野ですが、技術的な結果に裏付けられた従来の知恵は、実際には可能であれば、その分野で強力な結果を得るためには、何らかの特別なまだ未知の証明パターン/構造が必要になるということです。実際、同様に、「複雑性理論の強力な下限」さえ全体的に非常に困難であると思われ、これはこの分野の若い時代には広く予想/予測されなかった。しかし一方で、これは数学の大きな（未解決の）問題の難易度/重要度/重要度でランク付けされます。