（ポリログ空間の代わりに）なぜログ空間を効率的な計算のモデルと考えるのですか？

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これは、具体的な答えがあるのではなく、主観的な質問かもしれませんが、とにかくです。

複雑性理論では、効率的な計算の概念を研究します。が多項式時間を表し、が対数空間を表すようなクラスがあります。どちらも一種の「効率」として表されると考えられており、いくつかの問題の難しさをかなりうまく捉えています。 $\mathsf{P}$ $\mathsf{L}$

ただし、とには違いがあります。多項式時間、定数に対して時間で実行される問題の和集合として定義されます。 $\mathsf{P}$ $\mathsf{L}$ $\mathsf{P}$ $O(n^k)$ $k$

、 $\mathsf{P} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{TIME[n^k]}$

ログ空間はとして定義され。の定義を模倣すると、 $\mathsf{L}$ $\mathsf{SPACE[\log n]}$ $\mathsf{P}$

、 $\mathsf{PolyL} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{SPACE[\log^k n]}$

ここで、はポリログ空間のクラスと呼ばれます。私の質問は： $\mathsf{PolyL}$

効率的な計算の概念として、ポリログ空間ではなくログ空間を使用するのはなぜですか？

主な問題の1つは、完全な問題セットに関するものです。ログスペースの多対一の削減では、と両方に完全な問題があります。対照的に、がそのような削減のもとで完全な問題を抱えている場合、空間階層定理と矛盾します。しかし、ポリログ削減に移行した場合はどうなりますか？このような問題を回避できますか？一般に、を効率の概念に適合させ、（必要に応じて）いくつかの定義を変更して、「素敵な」クラスに必要なすべてのプロパティを取得する場合、どこまで行けますか？ $\mathsf{P}$ $\mathsf{L}$ $\mathsf{PolyL}$ $\mathsf{PolyL}$

ポリログ領域の代わりにログ領域を使用する理論的および/または実用的な理由はありますか？

cc.complexity-theory space-bounded big-picture

— シェンチーチャン張顯之
ソース

Hsien-Chih、いい質問。

— モハマッドアルトルコ

9

p o l y L \neq P

$polyL \ne P$

P

$P$

p o l y L

$polyL$

p o l y L

$polyL$

P

$P$

p o l y L

$polyL$

p o l y L

$polyL$ 、あなたがチェックアウトすることができPapadimitriouの複雑さの教科書を第16章の終わりには、具体的に演習と議論を

— ダニエルAPON

p o l y L

$polyL$

P

$P$

P

$\mathsf{P}$

P

$P$

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線形時間を含み、サブルーチンで閉じられた最小クラスはPです。ログスペースを含み、サブルーチンで閉じられた最小クラスは、まだログスペースです。したがって、PとLはそれぞれ時間と空間の最小の堅牢なクラスであり、効率的な計算のモデリングに適していると感じる理由です。

— ランス・フォートナウ
ソース

4

これは、実際の質問に対する最良の回答のように見えます。

— デリックストリー

1

これらすべての良い答えの中で、ランスによる答えが最も正確なものだと思います。私はそれを受け入れます。しかし、すべての思慮深い答えに感謝します！

— Hsien-Chih Chang張顯之

1

また、P = Lであるかどうかは未解決の問題です。

— ディエゴデエストラダ

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$\text{SPACE}[\log^2 n] \subseteq \text{P}$ $\log^{k-1}(n)$ $\text{NSPACE}$ $[\log^k n]$ $\text{-complete}$

$\text{PLOSS} = \bigcup_k \text{TISP}[n^k, k \, \log^2 n]$ $\text{DCFL} \subseteq \text{PLOSS}$ $\text{SC}^2$ $\text{SC}^k$

— マイケル・ブロンディン
ソース

2

Q u a s i P = ⋃_{k \geq 0} T I M E [2^{\log^{k} n}]

$\mathsf{QuasiP} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{TIME}[2^{\log^k n}]$

P

$\mathsf{P}$

これは既知の未解決の問題ですか？参照を提供できますか？

— モハマドアルトルコ

{SC}^{2}

$\text{SC}^2$

5

SCは、彼の後にNCに名前を付けるためにスティーブ・クックと伝えられるところでは相互の配置で、ニック・ピッペンガーによって命名されたこと:)注

— スレシュヴェンカト

P

$\mathsf{P}$

P

$\mathsf{P}$

Q u a s i P

$\mathsf{QuasiP}$

p o l y L

$\mathsf{polyL}$

L

$\mathsf{L}$

P

$\mathsf{P}$

S P A C E [\log^{k} n] \subseteq P

$\mathsf{SPACE}[\log^k n] \subseteq \mathsf{P}$

k

$k$

L^{k}

$\mathsf{L^k}$

— Hsien-Chih Chang張顯之

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$2^{O(\log n)} = \operatorname{poly}(n)$

$\text{NSPACE}[\log^k n] \subseteq \text{SPACE}[\log^{2k}n]$

$\text{SC}^k = \text{TISP}[\operatorname{poly}(n), \log^k n]$

— デリック・ストリー
ソース

p o l y L

$\mathsf{polyL}$

N L

$\mathsf{NL}$

p o l y L

$\mathsf{polyL}$

{1}

$\{1\}$

あなたは正しい、愚かな質問でごめんなさい:(

— Hsien-Chih Chang張顯之

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他のすべての答えは非常に良いと思います。私はこの問題について別の見方をしようとします。

Pは実際の世界で「効率的な」計算をどれほどうまくモデル化するかわかりませんが、その素晴らしいクロージャープロパティと他の数学的な理由からクラスが好きです。同様に、Lは前述の理由のいくつかのために素晴らしいクラスでもあります。

しかし、あなたがコメントしたように、「効率的」の定義を準多項式時間に緩めると、PolyLも効率的です。あるリソースで対数バウンドで定義されたクラスが代わりにポリログリソースを使用できるようにする複雑性理論を議論できます。それに応じて、NC、NLなどの定義を緩和して、代わりに準多項式サイズの回路を許可します。これを行うと、NC ₁、L、NL、NCはすべてクラスPolyLと一致します。この意味で、PolyLは多くの自然クラスと一致するため、堅牢なクラスです。対数->ポリログおよび多項式->準多項式による複雑性理論の詳細については、Barringtonによる準多項式サイズの回路クラスを参照してください。

polyLまたは準AC _0のような同様のクラスを研究するもう1つの理由は、ParityPとPHのオラクル分離がPARITYがAC ₀に含まれていないことを意味する一方で、逆含意が真実であるとは知られていないことです。一方、ParityPとPHの間にオラクル分離がある場合に限り、PARITYは準AC _0に含まれません。同様に、準TC ₀クラスと準AC ₀クラスは、CHとPHの間にオラクル分離がある場合にのみ異なります。したがって、オラクルの結果を証明するために指数関数でスケールダウンした場合、PH、ModPH、CHなどの通常の複雑度クラスは、通常のクラスAC ₀、ACC ₀およびTCの準多項式バージョンになります_。それぞれ₀。同様に、戸田の定理（PHはP ^PPに含まれる）で使用される引数を使用して、準AC ₀が深さ3準TC _0に含まれることを示すことができます。（これらのクラスの通常のバージョンで同じ結論が知られているかどうかはわかりません。これはいくつかの論文で未解決の問題としてリストされています。）

— ロビン・コタリ
ソース

1

あなたの答えは本当に役立ちます、あなたの意見を共有してくれてありがとう。私は準何かがたくさん研究されたことに驚いています!!

— Hsien-Chih Chang張顯之