PとNPCの間の問題

因数分解とグラフ同型はNPの問題であり、Pに存在することもNP完全であることも知られていない。この特性を共有する他の（十分に異なる）自然の問題は何ですか？ラドナーの定理の証明から直接得られる人工的な例は考慮されません。

これらの例のいずれかは、いくつかの「合理的な」仮説のみを仮定して、NP中間体であると証明できますか？

以下は、PとNPC間の問題のいくつかの応答のコレクションです。

• ファクタリング
• 同型の問題：グラフ同型[ NPCではない]（@Jeff Kinne経由）、グラフ自己同型、グループ同型、自己同型、リング同型、および自己同型（@Joshua Grochow経由）$\sum_2^p=\prod_2^p$
• 2つのバイナリツリー間の回転距離、または同じ平面ポイントセットの2つの三角形分割間のフリップ距離の計算（@David Eppstein経由）
• 距離から直線上の点を再構築するターンパイク問題（@Suresh Venkat経由）
• ユニークゲーム予想から生じる問題（@Moritz経由）
• 暗号化の前提に関連する離散ログ問題およびその他（@Joe Fitzsimons経由）
• パリティゲームの勝者の決定（@mashca経由）
• 確率論的ゲームに勝つ可能性が最も高いのは誰かを決定する（MOの@Peter Shor経由）
• ボックス内の数値の問題（@Joshua Grochow経由）
• バランスの取れたシングルエリミネーショントーナメントのアジェンダコントロール（@virgi経由）
• 結び目の自明性（@JeffE経由）
• （仮定NEXP≠EXP）パディングバージョンNEXP（@Joshua Grochowを介して）-complete問題
• TFNPの問題（@Marcos Villagra経由）
• 交差するモノトーンSAT（@AndrásSalamon経由）
• 最小回路サイズの問題（@Eric Allender経由）
• 与えられた三角形の3次元多様体が3球かどうかを判断する（@Joe O'Rourkeおよび@Peter Shorを介して）
• カッティングストック問題（@Sureshヴェンカトを介して）オブジェクトの長さの一定数の
• 単調な自己双対（@Danu経由）
• 平面最小二等分（@turkistany経由）
• Pigeonhole Subset Sum（@ user834経由）
• 平方根の合計（@JeffE経由）
• グラフが適切なラベル付けを許可するかどうかを決定する（@Oleksandr Bondarenko経由）
• 格子問題GapCVP で最も近いベクトルのギャップバージョン（@MCH経由）$(\sqrt{n})$
• 線形整除【であることが知られている問題（@Oleksandrボンダレンコを介して）-completeなくNPC]$\gamma$
• VC次元を見つける（@Mohammad al Turkistany経由）
• トーナメントで最小支配セットを見つける（@Mohammad al Turkistany経由）
• クラスター化された平面性

このクラスで私のお気に入りの問題（機能的な問題として表現しますが、標準的な方法で決定問題に簡単に変えることができます）：2つのバイナリツリー間の回転距離を計算します（同等に、2つの三角測量間のフリップ距離凸多角形）。

このリストにもMOリストにも記載されていない問題は、ターンパイクの問題です。n（n-1）/ 2の数値のマルチセットが与えられ、各数値がライン上の2つのポイント間の距離を表し、元のポイントの位置を再構築します。

この非自明なことは、マルチセット内の指定された数dに対して、どの点のペアがd単位離れているかわからないことに注意してください。

与えられたインスタンスについては、多項式の数の解しか存在しないことが知られていますが、それを見つける方法はわかりません！

平方根問題の合計：与えられた二つの配列1、2、... 、NおよびB 1、B 2、... 、Bのnは正の整数である：= Σ iは√$a_1, a_2, \dots, a_n$$b_1, b_2, \dots, b_n$に等しい、より小さい、またはより大きいB：=Σiが$A := \sum_i \sqrt{a_i}$？$B := \sum_i \sqrt{b_i}$

• この問題には、実際のRAMに些細な時間アルゴリズムがあります—合計を計算して比較するだけです！—しかし、これはPのメンバーシップを意味しません。$O(n)$

• 明らかな有限精度アルゴリズムがありますが、正確性のために多項式のビット数の精度で十分かどうかはわかりません。（詳細については、http：//maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P33.htmlを参照してください。）

• ピトゴラスの定理は、頂点と整数の端点が整数の平方根の合計である多角形曲線の長さを意味します。したがって、根の問題は、ユークリッドの最小全域木、ユークリッドの最短経路、最小重みの三角測量、ユークリッドの巡回セールスマン問題など、いくつかの平面計算幾何学の問題に固有のものです。（ユークリッドMST問題は、基礎となるマトロイド構造とEMSTがドロネー三角形分割のサブグラフであるという事実のおかげで、根の合計問題を解決することなく多項式時間で解くことができます。）

• そこで多項式時間のランダム化アルゴリズム、ヨハネスBlömerによる 2つの合計が等しいかどうかを判断するためには、。ただし、答えがいいえの場合、Blomerのアルゴリズムはどちらの合計が大きいかを判断しません。

• この問題の決定バージョン（？）は、NPにあることすら知られていない。ただし、Blomerのアルゴリズムは、決定問題がNPにある場合、co-NPにもあることを意味します。したがって、問題はNP完全ではありません。$A > B$

「十分に」異なるとみなされる場合とそうでない場合がある問題のリストを以下に示します。グラフ同型と同じ証明により、それらのいずれかがNP完全である場合、多項式階層は第2レベルに崩壊します。これらの「どれが」Pにあるべきかについての幅広いコンセンサスはないと思います。

• グラフの自己同型（グラフに自明でない自己同型があるかどうかを判定します）。グラフ同型に還元されますが、GIハードであるとは知られていない（考えられない？）
• グループ同型および自己同型（グループは乗算表で与えられます）。繰り返しますが、グラフ同型に還元されますが、GIハードとは考えられていません。
• リング同型と自己同型。ある意味で、これは上記のすべての問題の祖父です。整数因数分解はリングの自明でない自己同型を見つけることと同等であり、グラフ同型はリング同型に還元されるからです。Neeraj Kayal、Nitin Saxenaを参照してください。リングモーフィズム問題の複雑さ。計算の複雑さ15（4）：342-390（2006）。 （興味深いことに、リングに自明でない自己同型があるかどうかを判断するのはです。）$P$
• Bill Gasarchによるこの投稿には、Ramsey理論の味に関する他のいくつかの問題が含まれています。
• Mahaneyの定理により、スパースセットはNP完全になることはできません。しかし、我々はまた、スパースセットがあることを知っている - Pの IFF N E X Pは等しくないE X P。したがって、N E X P ≠ E X Pであると仮定すると、N E X P完全な問題のパッド付きバージョンは中程度の複雑さです。（そのようなセットは、であることができないPがない限りN E X P = E X $NP$$P$$NEXP$$EXP$$NEXP \neq EXP$$NEXP$$P$$NEXP = EXP$、私たちの仮定に矛盾します。）自然な完全な問題がたくさんあります。$NEXP$

最小回路サイズ問題（MCSP）は、NPで完全ではないことがわかっているNPでの私のお気に入りの「自然な」問題です。m変数のブール関数fの真理値表（サイズn = 2 ^ m）数sが与えられた場合、fにはサイズsの回路がありますか？MCSPが簡単な場合、暗号的に安全な一方向機能はありません。この問題とその変種は、ロシアでの「ブルートフォース」アルゴリズムの研究の動機付けの多くを提供し、NP完全性に関するレビンの研究につながりました。この問題は、リソースに制限のあるコルモゴロフの複雑さの観点からも見ることができます。短い説明から文字列をすばやく回復できるかどうかを尋ねます。このバージョンの問題はKoによって研究されました。私の知る限り、MCSPという名前は最初にCaiとKabanetsによって使用されました。より多くの参照は私の論文で見つけることができます： http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/KT.pdf http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/pervasive.reach.pdf

単調な自己双対性

任意のブール関数のために$f=f(x_1, x_2, ..., x_n)$、それは二重だある$f^d=\bar{f}(\bar{x_1}, \bar{x_2}, ..., \bar{x_n})$。与えられた$f(x_1, x_2, ..., x_n)$CNF式で表されるため、$f=f^d$かどうかを判断する必要があります。

この問題はco-NP [ $\log^2 n$ ]にあります。つまり、$O(\log^2n/ \log\log n)$非決定的なステップで決定できます。したがって、準多項式時間アルゴリズム（$O(n^{\log n/\log \log n})$時間）を使用しているため、NP困難になる可能性は低いです。

この問題がPにあるかどうかに関係なく開いています。詳細については、2008年の論文「単調な二重化の計算的側面：簡単な調査」で、トーマス・アイター、牧野一久、およびゲオルク・ゴットロブが確認できます。

結び目の自明性：3空間で閉じた多角形のチェーンが与えられた場合、それは結び目がありません（つまり、周囲の同位体から平らな円へ）。

これは、通常の表面理論の深遠な結果によってNPにあることが知られていますが、ポリタイムアルゴリズムまたはNP硬さの証明は知られていません。

プレイヤー1がパリティゲームで勝ち戦略を（特定の開始位置から）持つかどうかを多項式時間で決定できるかどうかは不明です。ただし、問題はNPおよびco-NPに含まれ、UPおよびco-UPにも含まれます。

Max-Cutを係数0.878内で近似するなど、近似問題を受け入れたい場合は、非常に長い問題のリストを取得します。NP-hardかPかはわかりません（Uniuqe Games予想を想定したNP-hardnessのみを知っています）。

で単調 CNF式のすべての条項は、正のリテラルまたは唯一の負リテラルのみが含まれています。交差単調CNF式毎正句は、あらゆる負句と共通のいくつかの変数を有しています。

決定問題

MONOTONE SATの交差する
入力を：モノトーンCNF式交差質問：あるFの充足可能では？$f$
$f$

持っているバック1996年にまで遡るアルゴリズムを、しかしP.であることが知られていない（もちろん、それはPであることが判明するかもしれませんが、それは主要な結果になります。）$n^{o(\log\ n)}$

• トーマス・アイターとゲオルク・ゴットロブ、ハイパーグラフ横断計算とロジックとAIの関連問題、ジェリア2002. doi：10.1007 / 3-540-45757-7_53

与えられた三角形の3次元多様体は3球体ですか？ジョー・オルークから。

サブセット合計（またはサブセット合計平等）のピジョンホールバージョン。

与えられた：

N - 1 Σ K = 0、K < 2 N -

鳩の巣原理により、2つの互いに素なサブセット、存在しなければならない：その結果を$S_1, S_2 \subseteq \{ 1, \dots, n \}$

ピジョンホールサブセット合計問題では、このような解決策が求められます。もともとは、Bazgan、Santha、およびTuzaによる「SUBSET-SUMS EQUALITY問題の効率的な近似アルゴリズム」で述べられていました。

隠されたサブグループを見つけることに関連する多くの問題があります。ファクタリングに言及しましたが、離散対数問題や楕円曲線などに関連する他の問題もあります。

Pにあることが知られていない計算上の社会的選択の問題があり、NP完全である場合とそうでない場合があります。

バランスの取れたシングルエリミネーショントーナメントのアジェンダコントロール：

$T$$n=2^k$$a$

質問：ノードの順列（括弧）が存在するため、aは誘発されたシングルエリミネーショントーナメントの勝者になりますか？

$P_k$$2^k$$V$$T$$V$$P_{k-1}$$2^{k-1}$$i>0$$P_k[2i-1]$$P_k[2i]$$e$$T$$P_{k-1}[i]=P_k[2i-1]$$e=(P_k[2i-1],P_k[2i])$$P_{k-1}[i]=P_k[2i]$$P_k$$T$$P_{k-1}$$2^k$$k$$P_{k-1},\ldots,P_0$$2^k$

バランスの取れたシングルエリミネーショントーナメントのアジェンダコントロール（グラフ形式）：

$T$$n=2^k$$a$

$T$$2^k$$a$

$2^k$$x$$a$$2^{k-1}$$x$$2^{k-1}$$y$$x$$y$$k=0$

いくつかの参照：

1. ジェローム・ラング、マリア・シルビア・ピニ、フランチェスカ・ロッシ、クリステン・ブレント・ヴェナブル、トビー・ウォルシュ：シーケンシャル・マジョリティ投票での勝者の決意。IJCAI 2007：1372-1377。
2. N.ハゾン、PEダン、S。クラウス、およびM.ウォルドリッジ。選挙と競争をリグする方法。COMSOC 2008。
3. Thuc Vu、Alon Altman、Yoav Shoham。ノックアウトトーナメントのスケジュール管理の問題の複雑さについて。AAMAS（1）2009：225-232。
4. V.ヴァシレフスカウィリアムズ。トーナメントの修正。AAAI 2010。

クラスTFNPを見てください。中間状態の検索問題がたくさんあります。

誘導された部分グラフ同型問題には、PがNPと等しくないと仮定して、NPが不完全な「左側の制限」があります。Y. Chen、M。Thurley、M。Weyer：誘導サブグラフ同型の複雑さの理解、ICALP 2008を参照してください。

$NP$$NP$

最小二分問題：交差エッジの数が最小になるように、ノードのセットを2つの等しいサイズの部分に分割します。

Karpinski、最小二分問題の近似性：アルゴリズムの課題

オブジェクトの長さが一定の場合の切断ストックの問題。詳細については、この説明を参照してください。

$n$$v$$1$$v$$\beta$$v$$\beta > 1$

場合$\beta = \sqrt{n}$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\beta$$\beta = n^{o(1/\log \log n)}$$\mathsf{NP}$

$G = (V,E)$$f$$v\in V$$f(v)$$e = uv\in E$$|f(u) − f(v)|$$f : V\rightarrow \{0, 1, 2,\dots, |E|\}$$\{1, 2,..., |E|\}$

1. JAガリアン。グラフのラベル付けの動的な調査。電子ジャーナルオブコンビナトリクス、2009年。
2. DSジョンソン。NP完全性の列：継続的なガイド。J.アルゴリズム、4（1）：87–100、1983。
3. DSジョンソン。NP完全性列。ACM Transactions on Algorithms、1（1）：160–176、2005。

$P$$NP$$O(n^{\log n})$$NP$$NP$

$a$$b$$a \cdot x+1$$b$

$\gamma$

GareyとJohnsonは、彼らの独創的な「コンピューターと難治性」で次のように述べています（pp。158-159）。

$\gamma$$R_M$$M$

$$R_M=\{\langle x,y\rangle:there\ is\ a\ string\ z\ such\ that\ on\ input\ x\ and\ guess\ z\ M\ has\ output\ y\}$$

$L_1$$\Sigma_1$$\gamma$$L_2$$\Sigma_2$$L_1\propto_{\gamma}L_2$$M$$x\in\Sigma_1^*$$y\in\Sigma_2^*$$\langle x,y\rangle\in R_M$$\langle x,y\rangle\in R_M$$x\in L_1$$y\in L_2$$M$$x$$x$$x$$L_2$$x\in L_1$

$P$$NP$$O(n^{\log n})$

次の問題はNP中間であると考えられています。つまり、NPにはありますが、PにもNPにも完全ではありません。

指数ルート問題（EPRP）の累乗

$p(x)$$\deg(p) \geq 0$$GF(q)$$q$$r$

$\deg(p)=0$

詳細については、私の質問と関連する議論を参照してください。

Thinh D. Nguyenの答えで提案された重み付きハイパーグラフ同型問題が、GI完全であることを単純に示すことができないかどうかはわかりません。ただし、GIに密接に関連するGIハード問題があります。これはまだGIに還元されていません。つまり、文字列同型問題（色同型問題とも呼ばれます）です。これは、LászlóBabaiによって実際に準多項式時間にあることが示されている問題です。（順列）群理論の多くの決定問題と同等であるため、独立した関心があります。

• コセット交差点問題
• ダブルコセットメンバーシップテスト問題
• グループ分解問題

FPにあるかNPに困難であることが知られていない問題は、シュタイナーの頂点が120°の角度で交差する2つの直線セグメントに落ちると約束されている場合、最小のシュタイナーツリーを見つける問題です。ラインセグメント間の角度が120°未満の場合、問題はNP困難です。角度が120°より大きい場合、問題はFPにあると推測されます。

したがって、現在、次の決定の問題は中程度の複雑さのようです。

$q$
$q$

もちろん、これは実際にはPまたはNP完全である可能性がありますが、その場合、中間の問題ではなく120°で興味深い二分法があると思われます。（推測も間違っている可能性があります。）

• JH Rubinstein、DA Thomas、NC Wormald、曲線に拘束された端末のシュタイナーツリー、SIAM J. Discrete Math。10（1）1–17、1997。doi：10.1137 / S0895480192241190

$G_1$$G_2$$n$$\pi$$G_1$$G_2$$NP$