多項式時間硬さの結果を示すために使用できる問題

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新しい問題のアルゴリズムを設計する際に、しばらくして多項式時間アルゴリズムを見つけられない場合、NP困難であることを証明しようとするかもしれません。成功すれば、なぜ多項式時間アルゴリズムが見つからなかったかを説明しました。P！= NPであることを私が確実に知っているわけではなく、これが現在の知識で行うことができる最高のものであるだけであり、実際、コンセンサスはP！= NPであるということです。

同様に、ある問題の多項式時間解を見つけたが、実行時間はです。多くの努力の後、私はこれを改善することで進歩を遂げません。したがって、代わりに、3SUM困難であることを証明しようとするかもしれません。これは通常、3SUMが実際に時間を必要とするという私の最高の信念のためではなく、満足のいく状況です。しかし、これは現在の最新技術であり、そして失敗しました。だから、私ができる最善のことは私のせいではありません。 $O(n^2)$ $\Theta(n^2)$

このような場合、NPの問題に対するチューリングマシンの超線形下限はないため、実際の下限の代わりにできるのは硬度の結果です。

すべての多項式実行時間に使用できる問題の均一なセットはありますか？たとえば、ある問題のアルゴリズムがよりも優れている可能性が低いことを証明したい場合、Xがハードであると示してそのままにしておくことができるような問題Xがありますか？ $O(n^7)$

更新：この質問は、もともと問題の家族を尋ねました。問題のファミリーはそれほど多くなく、この質問には個々の難しい問題の優れた例がすでに寄せられているので、多項式時間の硬さの結果に使用できる問題の質問を緩和しています。また、より多くの回答を促すために、この質問に報奨金を追加しています。

cc.complexity-theory lower-bounds conditional-results

— ロビン・コタリ
ソース

5

maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P11.htmlページには、3SUMの下限（および上限）および関連する問題に関するいくつかの結果が要約されており、読む価値があります。

— 伊藤剛

2

超線形の下限が存在しないのは、少なくとも2本のテープがあるTMの場合です。シングルテープTMでパリンドロームをチェックすることは、二次時間の下限があることをどこかで読んだことを覚えています。

対

の種類の

内の下限について話すとき、TMの正確なモデルはそれほど重要ではないと仮定しても大丈夫ですか？

P

$P$

Ω (n^{i})

$\Omega(n^i)$

Ω (n^{i + 1})

$\Omega(n^{i+1})$

— -gphilip

3

トピック外：ロビン、剛、下限の3SUMファミリーを導入してくれてありがとう：以前に聞いたことはありませんでした。

— gphilip

2

@剛：情報ありがとうございます。：これは、トピックの素敵な調査ですcs.mcgill.ca/~jking/papers/3sumhard.pdf。@gphilip：最近、いくつかの計算幾何学でこの問題を紹介されました。その分野でよく知られていると思います。

— ロビンコタリ

いい質問ですね。「均一」とはどういう意味かを明確にしてください。パラメータの前処理の量を制限しますか？

— アンドラスサラモン

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はい、のための最もよく知られたアルゴリズム -SUMはで実行さそれはあなたには、いくつかの主張ができることを非常に可能性がありますので、時間それは中だ場合ので、問題は、困難である、あなたが解決することができます - SUMが速くなりました。 $k$ $O(n^{\lceil k/2 \rceil})$ $n^7$ $n^{6.99}$ $14$

なお、 -SUM問題として「より簡単に」なる増加：のための改良されたアルゴリズム与えられた -SUM、それがための改良されたアルゴリズムを取得するにはかなり簡単だ -SUM：すべて取るのペア番号にあなたの -SUMのインスタンスが与えられ、各ペアを2つの合計で置き換え、等しい数の中から数の合計を探します。次いで、のためのアルゴリズム -SUMが暗示 $k$ $k$ $k$ $2k$ $O(n^2)$ $n$ $2k$ $k$ $0$ $O(n^{k/2-\varepsilon})$ $k$ アルゴリズム -SUM。別の言い方をすれば、タイトな下限のための -SUMはタイトな下限よりも強い仮定である -SUM。 $O(n^{k-2\varepsilon})$ $2k$ $2k$ $k$

難しい問題の別の候補はクリークです。詳細については、私の -Cliqueの回答を参照してください。（たとえば）問題に適したアルゴリズムがクリークのアルゴリズムを意味することを示すことができる場合、アルゴリズムを改善するにはスーパーブレークスルーが必要です。パラメータ化された複雑さは、次のような他の問題の多くの例を示します -Cliqueはクラスにとって困難であり、 -SUMはにとって困難です。 $k$ $O(\log n)$ $O(n^2)$ $3$ $k$ $W\[1\]$ $k$ $W\[2\]$

このような問題は非常に便利ですが、 -SUMなどの問題はの「最も難しい」ものではありません。たとえば、すべての問題は、は、実際には線形時間を -SUMに減らすことができます。これは、 -SUMは線形時間でビットの非決定性で解くことができるため、2次時間のすべてを -SUMに減らすことができる場合、 $3$ $TIME[n^2]$ $TIME[n^2]$ $3$ $3$ $O(\log n)$ $3$ およびその他の素晴らしい結果。この点に関する詳細は、記事「 -hard問題はどれくらい難しいか？」で見つけることができます。（ある時点で、「3SUM-hard」は「 -hard」と呼ばれていました。このSIGACTの記事はその名前について不満を言っていました。） $P \neq NP$ $n^2$ $n^2$

— ライアン・ウィリアムズ
ソース

4

k-cliqueの使用に関する唯一の問題は、3-cliqueが

解けることです。kクリークが

を必要とするように思われる場合、それは使用するのに非常に自然な家族でしょう。

O (n^{2} .376)

$O(n^2.376)$

Θ (n^{k})

$\Theta(n^k)$

— ロビンコタリ

-SUMと

-Cliqueの使用に根本的な違いはありません。

-SUMは、偶数

になります。問題のより良いアルゴリズムが

-Cliqueが

にあることを示すことを示すことができれば、これはあなたの問題のより良いアルゴリズムを見つけるのが非常に難しいという強力な証拠です。

k

$k$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k / 2})

$O(n^{k/2})$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k / 2})

$O(n^{k/2})$

— ライアンウィリアムズ

きちんとしたリファレンス、ライアン。ジオメトリコミュニティで3SUMがどれほど人気があるかを考えると、それについて以前知らなかったことを恥ずかしく思います。もちろん、これは疑問を投げかけます：

難しいという自然な候補はありますか？

n^{2}

$n^2$

— Suresh Venkat

@ライアン：あなたは正しい、彼らは同じです。ただし、k-SUMを使用すると、少なくとも、より弱いモデルでは推測された範囲が正しいという証拠が得られます。3-cliqueは行列の乗算よりも速く解けるべきではないことを示唆する引数は知りません。

— ロビンコタリ

@Robin：

場合、

可能性のある下限に関する問題の自然なファミリーが良い答えだと思いました。正確な定数はそれほど重要ではないようですか？

n^{f (k)}

$n^{f(k)}$

f (k) = Θ (k)

$f(k) = \Theta(k)$

— アンドラスサラモン

14

全ペア最短経路（APSP）の問題が必要と考えられている時間。これを減らすことは、Fast Matrix Multiplication（FMM）に基づいた改善は見込めないと主張する素晴らしい方法です。 $\Omega^\star(n^3)$

— ミハイ
ソース

2

グラフの直径はどうですか？さらに良いことに、「直径は少なくともkですか？」という決定問題にします。私の知る限り、これには明らかな超線形境界がないという利点があります。

— ラファエル

9

$d$ $O(n^d)$ $n$ $d$ $d+1$

$(d+1)$ $k$ $\Omega(n^{\lfloor d/2 \rfloor +1})$ $d \geq 3$

J.エリクソン、S。ハーペルド、およびDMマウント、最小中央二乗問題について、離散および計算幾何学、36、593-607、2006。http : //www.cs.umd.edu/~mount/Papers /dcg06-lms.pdf

J.エリクソンとR.サイデル。アレーンおよび球体の縮退を検出するためのより良い下限。離散計算。GEOM、13：41-57、1995年http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/degen.html

J.エリクソン。奇数次元の凸包問題の新しい下限。SIAM J. Comput、28：1198年から1214年、1999年http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/convex.html

— ギルヘルム・D・ダ・フォンセカ
ソース

私はこの答えが好きですが、説明してもらえますか？なぜ信じられますか？

— アーロンスターリング

8

$\Theta(n^{4/3})$ $n$ $n$

— ジェフス
ソース

7

Hopcroftの問題に帰着する非幾何学的問題はありますか？

— Suresh Venkat

私は以前にこの問題について聞いたことがなかったので、この答えに賞金を与えることにしました。

— ロビンコタリ