与えられた問題に対して、最適な貪欲なアルゴリズムが存在しないことを証明することは可能ですか？

貪欲は非公式な用語ですが、特定の問題については、貪欲を数学的に定式化できるため、最適な貪欲アルゴリズムが存在しないことが証明される可能性があります。これは可能ですか？

最も簡単なことは、問題に対して貪欲なアルゴリズムを設定し、反例を探すことです。あなたがそれを見つけたら、あなたはあなたの答えを持っています。そうでなければ、貪欲が機能することを証明する多くの方法があります。もちろん、これにはいくつかの問題があります（貪欲なアルゴリズムの具体的な作成方法など）。どの問題を貪欲に解決できないか、どの問題を解決できないかを特徴付けることに関しては、それに対する一般的な答えもあります。

実際には、彼らの論文では、「貪欲構造の正確な特徴付け」（SIAM J.離散数学。6、頁274から283）は、ヘルマン、モレ及びシャピロと呼ばれるだけこの形式的な記述（与えマトロイド埋め込み、一般化をマトロイドとグレドイドの両方）。要約から：「著者は、貪欲なアルゴリズムが最適なソリューションを生成する構造の正確な特性を提示します。」

$(E,\mathcal{F},w)$$E$$\mathcal{F}\subseteq 2^E$$E$$\mathcal{F}$$E$$w$$\mathcal{F}$$E$

1. $(E,\mathcal{F})$

2. $(E,\mathcal{F})$

3. $(E,\mathcal{F})$

言い換えると、これらのような構造（基本的に貪欲で作業するときに通常考えられる種類の構造を具体化する）の場合、マトロイドの埋め込みのセットを正確に貪欲に解決できます。

マトロイド埋め込みの定義はそれほど難しいものではないため、特定の問題がマトロイド埋め込みであるかどうかを証明することは確かに実現可能です。Wikipediaのエントリはかなり明確な定義を与えます。（これらが貪欲によって解決できる正確な構造である理由の証明を理解する—それは完全に別の問題です...）

線形目的関数を使用した加重セットシステムからの選択に関して問題を定式化でき、それがマトロイド埋め込みではないことを示すことができる場合は、たとえそれがなくても、貪欲に解決できないことを示しています。反例を見つけることができませんでした。（反例を見つけることはかなり簡単になると思いますが）。

このアプローチは完全に問題がないわけではないと思います。あなたが言うように、貪欲の一般的な考え方はかなり非公式であり、線形に重み付けされた集合システムの形式が適用されないような方法でそれを微調整することは可能かもしれません。

はい、そのような仕事があります。アランボロディンは共著者と一緒に、貪欲の概念を形式化し、それらを使って近似比に到達できる結果を得る理論を開発しました。彼らは、貪欲なアルゴリズムを一般化する優先アルゴリズムのクラスを紹介します。このトピックに関する彼らの最初の仕事は、ペーパー「（インクリメンタル）優先アルゴリズム」です。

$1+\epsilon$

ivotronへ：私の最初の解釈を意味しなかった場合は、この回答を削除します。

こちらもご覧ください：http : //en.wikipedia.org/wiki/Greedoid