NP困難問題のための最適な欲張りアルゴリズム

より良い言葉がないので、欲は良いです。アルゴリズム入門コースで教えられた最初のアルゴリズムパラダイムの1つは貪欲なアプローチです。貪欲なアプローチは、Pの多くの問題に対してシンプルで直感的なアルゴリズムをもたらします。さらに興味深いことに、一部のNP困難な問題については、明白で自然な欲張り/ローカルアルゴリズムが（適切な複雑性の理論的仮定の下で）最適な近似係数をもたらします。典型的な例はSet Cover Problemです。自然な欲張りアルゴリズムは、P = NPでない限り最適なO（ln n）近似係数を与えます。

適切な複雑さの理論的仮定の下で証明可能な最適であるNP困難問題のいくつかの自然な欲張り/ローカルアルゴリズムに名前を付けます。

（最大カットとMax-SATは、「ランダムな割り当て」アルゴリズムをデランダム化するための）条件付き期待方法貪欲戦略として見ることができる。ためは、変数の値を選択ように結果の縮小インスタンスで満たされる制約の予想数が、現在のインスタンスで満たされる制約の予想数を超えること。（実際には、のための貪欲アルゴリズム最大カットを-approximatingは同じアルゴリズムの「条件付き期待方法」として最大カット-approximating。）X I 1 / 2 1 /$i=1,\ldots,n$$x_i$$1/2$$1/2$

この方法はMax-E3-SATでも機能し、近似を達成するため、これはない限り最適な近似である貪欲なアルゴリズムの例です（参照：Max- E3-SAT）。P = N $7/8$$P=NP$

頂点カバー：最適な定数因子近似アルゴリズムは、（貪欲に）最大一致を見つけ、近似解として含まれるすべての頂点を選択することを伴います。これにより2近似解が得られ、Unique Games Conjectureが偽でない限り、より良い定数因子近似は不可能です。

Subhash KhotとOded Regevの頂点カバーは、2ε 以内、JCSS 74（3）、2008年に近似するのが難しいかもしれません。

オフトピック：これは非常にかわいい近似アルゴリズムであると思います。特に後知恵の恩恵を受けて非常に簡単なためです。

有向グラフが与えられた場合、エッジの最大数を持つ非循環サブグラフを見つけます。

自明な2近似アルゴリズム：頂点の任意の順序を選択し、前方エッジまたは後方エッジを取得します。

2近似法に勝つことは、ユニークゲームでは難しいことが知られています（ただし、NPハードではないかもしれません）。

• ランダムな順序を破ることは難しい：最大非循環サブグラフVenkatesan Guruswami、Rajsekar Manokaran、およびPrasad Raghavendraの近似不可能性。

カーディナリティー制約に関する準モジュラー最大化には、1-1 / eの欲張り近似があります。アルゴリズムは、Nemhauser、Wolsey、Fisherによるものです。最大カバー率はサブモジュラー最大化の特殊なケースであるため、NP硬度はセットカバーのnp硬度から得られます。

GreedyはMax-k-coverに（1-1 / e）近似を与え、これはP = NPでなければ改善できません。

最小学位MSTを見つける。ハミルトニアンパスを見つけることは特別なケースであるため、np-hardです。ローカル検索アルゴリズムは、加法定数1内に与えます。

参照

最小次数のシュタイナーツリーを最適な範囲内に近似する

$k$$G = (V,E)$$d_{ij} \geq 0$$i,j \in V$$k$

$k$$S \subseteq V, |S| = k$$k$$k$$k$$r$$r$

$i \in V$$S$$|S| < k$$j \in V$$d(j,S)$$S$$|S| = k$

$2$$k$$\rho$$\rho < 2$$P = NP$$k$$k$$2$

$P|prec|C_{max}$

Ola Svenssonによる同一マシンでの優先度制約付きスケジューリングの条件付き硬さ

多分これもあなたの興味を引くでしょう（グローバル制約をローカル制約に変換する方法から適応）

貪欲な方法（より正確にはローカルな方法）はグローバルな最適化を達成するためにローカルな情報のみを使用するため、グローバルな条件をローカルな情報のみを使用できる条件に変換できる方法が見つかった場合、これは問題に対する（グローバルな）最適なソリューションを提供します貪欲/ローカルテクニックのみを使用します。

参照：

1. グローバルに考え、ローカルにフィット：低次元多様体の教師なし学習（Journal of Machine Learning Research 4（2003））
2. フロー制御へのアプリケーションとローカル情報を使用したグローバル最適化、Bartal、Y。
3. なぜ自然な勾配？、アマリS.、ダグラスSC
4. グローバル目標のローカル最適化：競合する分散デッドロックの解決とリソース割り当て、Awerbuch、Baruch、Azar、Y。
5. ローカルおよびグローバルな一貫性を備えた学習
6. 局所的一貫性法により解くことができる制約充足問題

グローバル評価関数（または制約）をローカル関数（ローカル情報を使用）に変換する問題とその整合性（つまり、同じグローバル最適化への収束）に取り組むリファレンスがいくつかあります。

1. 計算進化のためのローカル評価関数とグローバル評価関数、HAN Jing、2003
2. ローカル評価関数からの出現、Han Jing and Cai Qingsheng、2002

アブストラクト（上記1.から）

この論文は、古典的な組み合わせ問題を解決するための評価関数の局所性と大域性の側面からの計算進化の新しい外観を提示します：kcoloring問題（決定問題）と最小彩色問題（最適化問題）。最初に現在のアルゴリズムを確認し、カラーリング問題をマルチエージェントシステムとしてモデル化します。次に、従来のアルゴリズム（シミュレーテッドアニーリングなどのローカル検索）と分散アルゴリズム（Alife＆AERモデルなど）の本質的な違いが評価関数にあることを示します。シミュレーテッドアニーリングは、グローバル情報を使用してシステム状態全体を評価します。グローバル評価関数（GEF）メソッド。Alife＆AERモデルはローカル情報を使用して単一のエージェントの状態を評価し、これは、ローカル評価関数（LEF）メソッドと呼ばれます。k彩色問題と最小彩色問題を解決するためのLEFとGEFメソッドのパフォーマンスを比較します。コンピューターの実験結果は、LEFがGEFメソッド（シミュレーテッドアニーリングと貪欲）に匹敵することを示しています。多くの問題の場合、LEFはGEFメソッドに勝っています。同時に、GEFとLEFの関係、つまり一貫性と矛盾を分析します。一貫性定理は、LEFがGEFと一貫している場合、LEFのナッシュ均衡はGEFの局所最適と同一であることを示しています。この定理は、LEFがシステムをグローバルな目標に導くことができる理由を部分的に説明します。一貫性のあるLEFを構築するためのいくつかの規則が提案されています。一貫性に加えて、

具体的には、この論文では、ローカル関数（LEF）がグローバル関数（GEF）と一致しているかどうかを判断する方法と、特定のGEF から一貫性のある LEF を構築する方法（整合性定理）について説明します。

結論セクションからの抜粋（上記1.から）

この論文は、LEF＆GEF研究のほんの始まりに過ぎません。上記の研究レポートに加えて、まだ多くの将来の研究があります。LEF法の実験が増えています。LEFの分析的研究; LEFのローカル情報の十分性。そして、LEFの一貫したGEFの存在。一貫性の概念は十分ですか？遺伝的アルゴリズムには評価関数（適合度関数）もあるため、LEF＆GEFを遺伝的アルゴリズムに適用できますか？…これらの質問のすべてを研究し、答えようとするのが私たちの意図です