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ましょう度であるD多項式におけるN個の変数は上にF 2、dは定数である（2又は3を言います）。「式」と「式のサイズ」が明白な方法で定義されているfの最小式を見つけたい（例えば、多項式x 1 x 2 + x 1 x 3の最小式はx 1（x 2 + x 3））。f(x1,…,xn)f(x1,…,xn)f(x_1,\dots,x_n)dddnnnF2F2\mathbb{F}_2dddfffx1x2+x1x3x1x2+x1x3x_1 x_2 + x_1 x_3x1(x2+x3)x1(x2+x3)x_1(x_2+x_3) この問題の複雑さは何ですか-NP困難ですか？複雑さは依存しますか？ddd [より正式には、式（別名「算術式」）は、それぞれが葉に入力変数または定数1のラベルが付けられた根付き二分木です。ツリーの他のすべての頂点にはまたは×のラベルが付けられます。数式のサイズは、使用される葉の数です。この式は、多項式を再帰的に計算します。+頂点はF 2上の子の合計を計算し、×頂点は積を計算します。]+++××\times+++F2F2\mathbb{F}_2××\times

28 cc.complexity-theory  formulas 

質問： AC 0の明示的な関数の最もよく知られている式サイズの下限は何ですか？下限を持つ明示的な関数はありますか？Ω （n 2）Ω(n2)\Omega(n^2) バックグラウンド： ほとんどの下限と同様に、式のサイズの下限を達成するのは困難です。標準の汎用ゲートセット{AND、OR、NOT}の式サイズの下限に興味があります。 このゲートセット上の明示的な関数の最もよく知られている式のサイズの下限は、Andreevによって定義された関数のです。この境界はHåstadによって示され、アンドリーエフのの下限を改善しました。別の明示的な下限は、パリティ関数のKhrapchenkoの下限です。Ω （n 3 − o （1 ））Ω （n 2.5 − o （1 ））Ω （n 2）Ω(n3−o(1))\Omega(n^{3-o(1)})Ω(n2.5−o(1))\Omega(n^{2.5-o(1)})Ω(n2)\Omega(n^2) ただし、これら2つの関数はAC 0ではありません。二次（またはそれ以上）の下限を持つAC 0の明示的な関数を知っているのだろうかと思います。Nechiporukが示すように、私が知っている最良の範囲は、要素の区別関数の下限です。要素の区別関数はAC 0にあるため、\ Omega（n ^ 2 / \ log n）、好ましくは\ Omega（n ^ 2）よりも優れた明示的なAC 0関数の下限を探しています。。Ω （n 2 / log n ）Ω(n2/logn)\Omega(n^2/\log n)Ω （n 2 / log n ）Ω …

25 cc.complexity-theory  lower-bounds  circuit-complexity  formulas 

LET である充足とCNF式のn変数とm個の句。してみましょうS F 1の解空間もF 1。F1F1F_1nnnmmmSF1SF1S_{F_1}F1F1F_1 所与の決定の問題は、考える、別のCNF式F 2などの変数の同じセットをF 1と、S F 2 = S F 1（同じ解空間F 1（）が、できるだけ少ない句と唯一の目的は句の数を最小限にすることなので、各句に含まれるリテラルの数は関係ありません）。F1F1F_1F2F2F_2F1F1F_1SF2=SF1SF2=SF1S_{F_2} = S_{F_1}F1F1F_1 質問 誰かがすでにこの問題を調査しましたか？それに関する文献の結果はありますか？ 例として、次のCNFフォーミュラ（各行は句です）を考えます。 F1F1F_1 X 2 ∨ X 3 ∨ X 4 ¬ X 1 ∨ X 2 ∨ X 4 ¬ X 1 ∨ X 2 ∨ ¬ X 3 ¬ X …

18 cc.complexity-theory  co.combinatorics  sat  formulas 

バックグラウンド ゲートのセット（ベーシスとも呼ばれる）に対する1回限りの式は、各入力変数が1回現れる式です。読み取り1回の式は、一般に、De Morgan基底（2ビットゲートANDおよびOR、および1ビットゲートNOT）と完全なバイナリ基底（すべて2ビットゲート）で研究されます。 したがって、たとえば、2ビットのANDはどちらの基準でも1回限りの式として書き込むことができますが、2ビットのパリティはDe Morgan基準で1回だけの式として書き込むことはできません。 De Morgan基底上で1回限りの式として記述できるすべての関数のセットには、組み合わせの特性があります。たとえば、M。Karchmer、N。Linial、I。Newman、M。Saks、A。Wigdersonによる1回限りの式の組み合わせ特性化を参照してください。 質問 完全なバイナリベースで1回限りの式で計算できる関数セットの代替の特性はありますか？ 簡単な質問（v2で追加） 私はまだ元の質問への回答に興味がありますが、回答を受け取っていないので、簡単な質問をするつもりだと思いました：完全なバイナリベースで数式に有効ないくつかの下限技術は何ですか？（以下にリストしたもの以外） ここで、式のサイズ（=葉の数）の下限を設定しようとしていることに注意してください。読み取り1回の式の場合、式のサイズ=入力数です。したがって、関数が厳密にnより大きいサイズの式を必要とすることを証明できる場合、それは読み取り専用の式として表現できないことも意味します。 私は次のテクニックを知っています（ブール関数の複雑さからの各テクニックのリファレンス：Stasys JuknaによるAdvances and Frontiers）： Nechiporukの普遍関数の方法（セクション6.2）：特定の関数のサイズの下限を示します。これは、興味があるかもしれない特定の関数の下限を見つけるのに役立ちません。n2 − o （1 ）n2−o（1）n^{2-o(1)} サブ関数を使用したネチポルクの定理（Sec 6.5）：これは、関心のある関数の下限を提供するという意味で、適切な下限手法です。たとえば、要素の明瞭性関数のサイズはです。（そして、これはテクニックが証明できる最大の下限であり、あらゆる関数に対してです。）Ω （n2/ログn ）Ω（n2/ログ⁡n）\Omega(n^2/\log n)

15 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds  formulas 

私は非常に具体的になりたいです。誰もが以下の命題の反論または証拠を知っていますか： ∃p∈Z[x],n,k,C∈N,∃p∈Z[x],n,k,C∈N,\exists p \in \mathbb{Z}[x], n, k, C \in \mathbb{N}, ∀G,H∈STRUC[Σgraph](min(|G|,|H|)=n,G≄H),∀G,H∈STRUC[Σgraph](min(|G|,|H|)=n,G≄H),\forall G, H \in STRUC[\Sigma_{graph}] (min(|G|, |H|) = n, G \not\simeq H), ∃φ∈L(Σgraph),∃φ∈L(Σgraph),\exists \varphi \in \mathcal{L}(\Sigma_{graph}), |φ|≤p(n)∧qd(φ)≤Clog(n)k∧G⊨φ∧H⊭φ.|φ|≤p(n)∧qd(φ)≤Clog(n)k∧G⊨φ∧H⊭φ.|\varphi| \leq p(n) \wedge qd(\varphi) \leq Clog(n)^k \wedge G \vDash \varphi \wedge H \nvDash \varphi. 直観的には、「 local」ステートメントを使用してすべての非同型グラフを区別できる場合、これは正しいはずです。これは間違っていると思います。もちろん、同乗を法とするグラフを指定するだけでよいため、多項式の量指定子の深さを使用してグラフを区別できます。Clog(n)kClog(n)kClog(n)^k φ=∃x1∃x2∃x3...∃xn(∀x(⋁i∈VGx=xi)∧(⋀(i,j)∈EGE(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∉EG¬E(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∈V2G∣i≠jxi≠xj).φ=∃x1∃x2∃x3...∃xn(∀x(⋁i∈VGx=xi)∧(⋀(i,j)∈EGE(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∉EG¬E(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∈VG2∣i≠jxi≠xj).\varphi = \exists x_1 \exists x_2 \exists …

12 graph-theory  graph-isomorphism  formulas  first-order-logic 

n個の変数（）にm個の項がある単調なCNF式は、の形式の式であり、各は変数の一部のサブセットのORです。、とからの範囲に。 F （X 1、... 、xはN）= ⋀ C I C I X 1、... 、X nは I 1 m個バツ1、… 、xんx1,…,xnx_1,\ldots,x_nf（x1、… 、xん）= ⋀ C私f(x1,…,xn)=⋀Cif(x_1,\ldots,x_n) = \bigwedge C_iC私CiC_iバツ1、… 、xんx1,…,xnx_1,\ldots,x_n私ii111メートルmm たとえば、は、4つの変数に2つの項を持つ単調なCNF式です。（x1∨ X３∨ X4）∧ （x2∨ X4）（バツ1∨バツ３∨バツ4）∧（バツ2∨バツ4）(x_1 \vee x_3 \vee x_4) \wedge (x_2 \vee x_4) 私は、n個の項を持つn個の変数の特定の単調CNF式と同じ関数を表す同じ変数のセットで、最も短い式（必ずしも単調でなくても、CNFである必要はありません！）を探しています。（項と変数の数は同じであることに注意してください。） 式を構築する1つの明白な方法は、与えられたCNF定義を拡張することです。これにより、サイズ式が得られます。（数式のサイズを文字列として書き留めたときの数式の長さとなるように定義しましょう。）これが最も効率的な一般的な構成であるかどうか、またはすべてのn項の単調CNFに数式が存在するかどうかを知りたいサイズ。o （n 2）O （n2）O（ん2）O(n^2)o （n2）o（ん2）o(n^2) これが可能かどうか知りたいだけなのですが、アルゴリズムにはあまり興味がありません。これが不可能な場合は、反例となる機能がいいでしょう。文献で答えを見つけることができる場所へのポインタも高く評価されています。 編集：私はシンをより明確にするために例を追加しています。 入力式がます。これは、単調なCNF式です。同じ関数を表す短い式は次のとおりです：。xは1 ∨ （X 2 …

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