多項式のサイズを最小化する複雑さ

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ましょう度である多項式におけるの変数は上に、定数である（2又は3を言います）。「式」と「式のサイズ」が明白な方法で定義されているの最小式を見つけたい（例えば、多項式の最小式は）。 $f(x_1,\dots,x_n)$ $d$ $n$ $\mathbb{F}_2$ $d$ $f$ $x_1 x_2 + x_1 x_3$ $x_1(x_2+x_3)$

この問題の複雑さは何ですか-NP困難ですか？複雑さは依存しますか？ $d$

[より正式には、式（別名「算術式」）は、それぞれが葉に入力変数または定数1のラベルが付けられた根付き二分木です。ツリーの他のすべての頂点にはまたはラベルが付けられます。数式のサイズは、使用される葉の数です。この式は、多項式を再帰的に計算します。頂点は上の子の合計を計算し、頂点は積を計算します。] $+$ $\times$ $+$ $\mathbb{F}_2$ $\times$

cc.complexity-theory formulas

— アシュリー・モンタナロ
ソース

1

この問題に多項式同一性テストを減らすことはできませんか？

— カベ

4

つながりがあるかもしれないと思うが、すぐには見えない-特に学位の制約のため。また、問題が多項式の同一性テストよりも難しい場合、どれほど難しいかを知ることは興味深いでしょう。

— アシュリーモンタナ

あなたの場合、式のゲートの数（

s、および

s）は実際の式のサイズにどのように関連していますか？以下のために

、建設EhrenfeuchtとKarpinski 90は「ゲート」-formulaサイズ用（2XOR段落を参照してください）関連すると思われるが、私はもはやそれについて考える必要があります。

+

$+$

\times

$\times$

d = 2

$d=2$

— アレッサンドロコセンティーノ

数式はバイナリツリーなので、ここで使用した数式サイズの定義（葉の数）は、ゲート（内部の頂点）の数に1を加えたものに等しくなります。しかし、式サイズの他の賢明な定義の結果にも興味があります。EhrenfeuchtとKarpinskiの結果に関係があるかどうかはわかりません。これらはフォーミュラのサイズを最小化するのではなく、ソリューションをカウントする複雑さに関するものだからです...

— アシュリーモンタナ

ゼロの数を数えるために、最初に数式を同等の数式に変換します。これは、乗算と加算の点で最小であったことを思い出します。ただし、この最小性の証拠はありません。繰り返しますが、これは

場合にのみ答えます。

d = 2

$d=2$

— アレッサンドロコセンティーノ

7

co-NP-Complete TAUTOLOGYの問題（ブール式を与えた場合、それはトートロジーですか？）を、式のサイズを最小化する問題に減らすことができます（式がTRUEに等しい場合、式はトートロジーであるため）。さらに、3DNFのTAUTOLOGY（3CNFのSATと同様）はco-NP-Completeです。

— ダナ・モシュコヴィッツ
ソース

1

私が質問を理解しているように、

は関数としてではなく多項式として計算されるべきです。たぶん、いくつかの明確化が必要です。

f

$f$

— マルクスブレイザー

3

GF（2）上のdeg-3多項式が与えられ、3 SATからゼロ（節のランダムな線形結合を見ることにより）が与えられた場合、3SATからチェックへの確率的減少があります。 GF（2）上の3 poly、すべてゼロかどうか（1からpolyを減算することにより）。

— ダナモシュコヴィッツ

1

ありがとう！次数2の多項式の状況は何かわかりますか？また、（これはおそらく非常に密ですが）GF（2）上の次数3の多項式が標準形式で記述され、ゼロ多項式ではなくすべてゼロになる方法を見つけるのに苦労しています。明確にするために、私の問題への入力は、多項式を計算する回路の記述ではなく、多項式自体の記述であると想像しています。

— アシュリーモンタナロ

2

返信ありがとうございます。しかし、私はまだすべてがゼロであることを確信していません。poly（n）項を含むGF（2）上のn変数多項式は、単に置換

行うだけで、多項式がゼロかどうかが明らかな標準形式に簡単に変換できるように思えます条件を収集します。

x^{k} \to x

$x^k \rightarrow x$

— アシュリーモンタナロ

4

実際に、記述したように多重線形化すると、多項式はゼロ多項式である場合、すべての入力でゼロと評価されます。1つの証明：最小次数のゼロ以外の単項式Mを選択します。他のすべての変数をゼロに設定します。残っている単項式はMです。Mの変数を1に設定すると、ゼロ以外の出力が得られます。

— マヌー

4

正確な答えではありませんが、うまくいけば助けます：

1つだけでなく多項式の最小式を知りたい場合、d = 2の場合、この質問はすでにNP困難です。Nバイリニア式（タイプの式の間に1対1の対応が存在する：証明は以下の通りである）及びテンソルの3つの行列、すなわち要素。そのような行列のテンソルランクは、n個の双線形公式の乗算の複雑さです。 $n$ $\sum a_{ij}x_iy_j$ $F_2^n\otimes F_2^n\otimes F_2^n$

テンソルランクはNP困難問題であることが知られています（おそらく、テンソルランクの近似もNP困難です）。したがって、双線形式の乗算の複雑さはNP困難な問題です $3$ $n$

— クリム
ソース

2

ありがとう！これは問題に対する興味深い視点です。

— アシュリーモンタナ

次の定理は、多くの多項式から1つの多項式に渡すのに役立ちます。LEtS（f）1つの多項式の複雑度と、そのすべての導関数の計算の複雑度は最大5S（f）です。したがって複雑多項式

ほとんどの複雑さと等しい

f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}

$f_1, f_2,\ldots,f_n$

z_{1} f_{1} + z_{2} f_{2} \dots z_{n} f_{n}

$z_1f_1+z_2f_2\ldots z_n f_n$

— クリム

テンソルランクについて話す場合は、乗算のみをカウントし、加算はカウントしません。Ramprasadの答えに記載されている構造定理を使用することで、1つの双線形形式のランクを計算できるため、

の場合、1つの双線形形式のみが簡単です。（これらの定理の証明はアルゴリズム的です。Lidl＆Niederreiterの本を参照してください。）

d = 2

$d = 2$

— MarkusBläser11年

2

これに対する答えは、答えで許可する語彙に大きく依存します。入力と同じ言語で（つまり、多項式として）答えが必要な場合は、他のポスターが苦労している答えの1セットにつながります。

しかし、答えの語彙を増やすことを許可すると、素晴らしいことが起こります。シンボリック微分と自動微分の例を見ることができます。シンボリック微分では、かなりひどく爆発する傾向がある「式」のみが許可されます。自動微分では、入力に式が含まれていても、答えに直線プログラムを使用できます。これにより、式の膨張を制御できます。単変量多項式の場合、James Davenportと私は熟考しました基本的な語彙の一部としてサイクロトミック多項式を投入する必要があること（これらの多項式が爆発の唯一の本当の原因であると思われる理由に関する参考文献と、多項式問題間のさまざまな還元性の結果を示す論文を参照してください）および3SAT）。

言い換えれば、答えと考えるものを古典的な答えとは少し変えることができるなら、かなり異なる答え、つまりより複雑な答えを得ることができるかもしれません。語彙のこの変化が受け入れられるかどうかを決定するのは、純粋に理論的であるか、アプリケーションを念頭に置いて、質問するための元の動機に依存します。ジェームズと私がこれについて考えていた設定（シンボリック計算）では、複雑さを下げるために語彙を調整することは完全に受け入れられます（めったに行われません）。

— ジャック・カレット
ソース

質問は最小の算術式を求め、それを明確に定義します。したがって、この返信が直接関連するかどうかはわかりません。また、Dana Moshkovitzによる上記の回答と関連するコメントは、コメントですでに認められているように、質問に正しく回答しません。

— ラファエル

私の答えのポイントは、OPが必ずしも最良の質問をしているわけではないことに気付かないかもしれないということです。OPの質問は非常に古典的な言葉で聞かれますが、それからわずかな逸脱を許せば、まったく異なる答えが得られます。私はあなたのコメントを理解していますが、下票は少し厳しいと感じています。

— ジャックカレット

回答の最初の段落を修正して、質問がまだ正しく回答されていないことを明確にできますか？私は人々が誤解を招くかもしれないと心配していました。

— ラファエル

1

@ラファエル：できました。また、物事をさらに明確にしました。

— ジャックキャレット

0

一般的な回路/式の最小化は、同一性の最小式サイズが単純にゼロであるため、同一性テストよりも確かに困難です。どれほど難しいかについては、明確な答えはありませんが、おそらく算術回路/数式で研究されている「再構成アルゴリズム」はこれらの線に沿ったものかもしれません。

これらの場合、ブラックボックスを与えられ、クラス式（深さ回路など）であると伝えられます。目標は、（近くの）ブラックボックスの表現を構築することです。通常、ほとんどの再構築結果は、クラス、ランダム性、およびその他の種類のクエリのブラックボックスIDテストを想定しています。このような再構成アルゴリズムは、特定の制限されたクラスの回路で使用できますが、ブラックボックスPITがわかっているすべてのクラスでは使用できません。ShpilkaとYehudayoffは算術回路に関する素晴らしい調査（pdf）を行っており、章の1つは完全に再構成アルゴリズムに関するものです。 $\mathcal{C}$ $3$ $\mathcal{C}$

$d$

$d=2$ $x_1x_2 + x_3x_4 + .. + x_{2k-1}x_{2k} + \ell$

— ランプラサド
ソース

コメントしてくれてありがとう。悲しいことに、元の問題を解決するためにこれらのアイデアを使用する方法がわかりません。

— アシュリーモンタナロ