2つの非同型グラフ

私は非常に具体的になりたいです。誰もが以下の命題の反論または証拠を知っていますか：

$\exists p \in \mathbb{Z}[x], n, k, C \in \mathbb{N},$

$\forall G, H \in STRUC[\Sigma_{graph}] (min(|G|, |H|) = n, G \not\simeq H),$

$\exists \varphi \in \mathcal{L}(\Sigma_{graph}),$

$|\varphi| \leq p(n) \wedge qd(\varphi) \leq Clog(n)^k \wedge G \vDash \varphi \wedge H \nvDash \varphi.$

直観的には、「 local」ステートメントを使用してすべての非同型グラフを区別できる場合、これは正しいはずです。これは間違っていると思います。もちろん、同乗を法とするグラフを指定するだけでよいため、多項式の量指定子の深さを使用してグラフを区別できます。 $Clog(n)^k$

$\varphi = \exists x_1 \exists x_2 \exists x_3 ... \exists x_n (\forall x (\bigvee_{i \in V_G} x = x_i) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in E_G} E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \notin E_G} \neg E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in V_G^2 \mid i \neq j}x_i \neq x_j).$

編集：だから、私が持っていた局所性の直感は間違っているようです。量指定子の深さ式には、で囲まれたガイフマン局所性があります。つまり、対数深さの式は基本的にグローバルです。この理由から、私は提案が真実であることが判明するだろうと思いますが、それは私の意見では証明するのがはるかに難しいでしょう。 $k$ $O(3^k)$

— サミュエル・シュレシンジャー
ソース

パスとそれぞれ長さ

2つの切断されたパス

\frac{n}{2}

$\frac{n}{2}$

— サミュエルシュレシンジャー

パスには次数

2つのノードのみがあり、2つのパスには4つあります。つまり、一定サイズの式で区別できます。1つの円と2つの円のほうが幸運かもしれませんが、数量詞のランク

式で区別できると思います。

1

$1$

O (\log n)

$O(\log n)$

— エミルイェジャベク3.0

背の高い木は、葉の近くで異なる場合、反論に役立つ可能性があります。

— アンドラスサラモン

@EmilJeřábekは平等でなくて本当ですか？

— サミュエルシュレシンガー

@StellaBiderman等式のない式の真理は、全射反射（つまり、両方向の関係を保存）準同型によって保存されます。たとえば、グラフの場合、エッジのない2つのグラフは同じ文を満たします。より一般的には、任意のグラフを取得し、任意の頂点を独立したセットに爆発させることができます。

— エミルイェジャベク3.0

この答えを提案してくれた同僚のMaxim Zhukovskiiに感謝します。

答えは否定的であり、反例はかなり単純であることがわかります。ちょうど取る及びのためおよび及び以下のため $G=K_m\sqcup \overline{K_m}$ $H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_{m-1}}$ $n=2m$ $G=K_m\sqcup \overline{K_{m+1}}$ $H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_m}$ 。（ここで、ある -cliqueとの集合である単離された頂点）。Ehrenfeuchtゲームを検討することで、最初のケースでは可能な最小深度があり、2番目のケースではことがわかります。 $n=2m+1$ $K_s$ $s$ $\overline{K_s}$ $s$ $m$ $m+1$

Oleg Pikhurko、Helmut Veith、およびOleg Verbitskyによる論文「グラフの1次の定義可能性：量指定子の深さの上限」では、この境界はほぼタイトであり、2つの頂点グラフは深さ式で区別できることが示されました $n$ 。 $\frac{n+3}{2}$

— ダニエル・ムサトフ
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