AC0関数の数式サイズの下限

質問：

AC ^0の明示的な関数の最もよく知られている式サイズの下限は何ですか？下限を持つ明示的な関数はありますか？ $\Omega(n^2)$

バックグラウンド：

ほとんどの下限と同様に、式のサイズの下限を達成するのは困難です。標準の汎用ゲートセット{AND、OR、NOT}の式サイズの下限に興味があります。

このゲートセット上の明示的な関数の最もよく知られている式のサイズの下限は、Andreevによって定義された関数のです。この境界はHåstadによって示され、アンドリーエフのの下限を改善しました。別の明示的な下限は、パリティ関数のKhrapchenkoの下限です。 $\Omega(n^{3-o(1)})$ $\Omega(n^{2.5-o(1)})$ $\Omega(n^2)$

ただし、これら2つの関数はAC ^0ではありません。二次（またはそれ以上）の下限を持つAC ^0の明示的な関数を知っているのだろうかと思います。Nechiporukが示すように、私が知っている最良の範囲は、要素の区別関数の下限です。要素の区別関数はAC ⁰にあるため、、好ましくはよりも優れた明示的なAC ⁰関数の下限を探してい。 $\Omega(n^2/\log n)$ $\Omega(n^2/\log n)$ $\Omega(n^2)$

参考文献：

このトピックに関する優れたリソースは、Stasys Juknaによる「ブール関数の複雑さ：進歩とフロンティア」です。この本の下書きは、彼のウェブサイトで無料で入手できます。

— ロビン・コタリ
ソース

超線形lowerboundsの欠如の理由は、のためにすることができます

AC0 $AC^0$ 関数は、のために自己還元のいくつかの並べ替えも

AC0 $AC^0$ 機能？すなわち、

n1+ϵ $n^{1+\epsilon}$ 下限がある場合（

ϵ $\epsilon$ は深さに依存しません）、スーパーポリの下限を取得します。

— カヴェー

@Kaveh：わかりません。（要素の区別）の関数には、下限が既にあり。

Ω(n2/logn) $\Omega(n^2/\log n)$

AC0 $AC^0$

— ロビンコタリ

申し訳ありませんが、superlinearをsuper-quadraticに置き換えてください。 Allender-Kouckyの結果に似たものを意味し。の指数はより大きくなる可能性があります。このような結果は、関数の下限を見つけることが難しい理由を説明するかもしれません。

TC0 $TC^0$

AC0 $AC^0$

— カヴェー

チューリング削減のもとでに対して完全な問題はすべて自己還元可能であるように見えますが、自己還元のサイズは多項式的に大きくなる可能性があるため、これは私が期待していたものではありません。

AC0 $AC^0$

NC0 $NC^0$

— カヴェー

回答:

いい質問です！Khrapchenkoは間違いなく関数の2次下限を与えることはできません。彼の下限は、実際には少なくとも平均感度の2乗です。また、すべての関数には、多対数平均感度があります。Subbotovskaya-Andreevは明らかに、そのような関数を与えることもできません。なぜなら、彼らが使用する引数（ランダムな制限により、はるかに小さい式が得られる）がまさに回路サイズを強制する理由だからです。Hastadのスイッチング補題（よくわからない、ただの直観）。唯一の希望はネチポルクです。しかし、彼の議論は、情報理論的な理由により、を超えることはできません。それで、すべてが $AC^0$ $AC^0$ $AC^0$ $n^2/\log n$ $AC^0$ 二次（またはさらに小さい）サイズの式はありますか？私はそれを信じていませんが、反例をすぐに見つけることができませんでした。

実際、Allender-Koucky現象は他の状況でも発生します-グラフの複雑さです。回路と言うの変数が表す二部をグラフの頂点にすべての入力ベクトル用の場合ちょうど二つ1Sと言うされ、位置と（、）回路は頂点とが隣接して場合にのみ受け入れます。問題：少なくとも必要とする明示的なグラフを示す $2n$ $n\times n$ $G$ $V=\{1,\ldots,2n\}$ $a$ $i$ $j$ $i\leq n$ $j>n$ $a$ $i$ $j$ $G$ $G$ $n^{\epsilon}$ モノトーン -circuit で表されるゲート。無邪気な質問のようです（ほとんどのグラフには約ゲートが必要です。しかし、そのようなグラフは変数のブール関数を与え、超線形サイズの非単調な対数深さ回路を要求します（したがって、深さ3の回路の下限を証明することさえ困難な場合があります。 $\Sigma_3$ $n^{1/2}$ $2m=2\log n$ $n^{\epsilon}$

— スタシス
ソース

cstheoryへようこそ。:)（ところで、あなたの新しい本は非常に面白そうに見えますが、残念ながら私は英語を母国語としないので、校正を手伝うことはできません。）

— Kaveh

実際、この時点での内容/参照などに関するコメント/批評家も非常に重要です。現在のバージョンはこちらです。ユーザー：友人パスワード：catchthecat

— Stasys

ありがとう:)命題の証明の複雑さに関する最終章を読みます。

— カヴェー

答えてくれてありがとう！

関数で、

サイズの式が必要であると推測される場合は、興味があります。AC0 $AC^0$

Ω(n2) $\Omega(n^2)$

— ロビンコタリ

Kaveh、証明の複雑さに関する章を見てくれてありがとう！

ロビンの質問に関して、最初に、は、定数に対してサイズ式（さらには回路）を必要とする関数が含まれています。これは、が常に長い単項式を持つすべてのDNFを含むという単純な事実から得られます。したがって、は、任意の少なくとも異なる関数が含まれます。一方、サイズ式で計算できる関数は最大で約 $AC^0$ $n^k$ $k$ $AC^0$ $AC^0$ $\exp(n^k)$ $k$ $\exp(t\log n)$ $t$ 。

Igor Sergeev（モスクワ大学）と以上の明示的な下限を取得する問題について簡単に説明しました。1つの可能性は、Andreevの方法を使用することですが、Parityではなく、別のより簡単な計算可能な関数に適用されます。つまり、フォームの変数の関数を考えここで、、は関数です $n^2$ $n$ $F(X)=f(g(X_1),\ldots,g(X_b))$ $b=\log n$ $g$ の変数。は、変数の最も複雑な関数です（が存在するだけで十分です）。関数を次の意味で「殺す」ことができないことだけが必要です変数以外をすべて修正する場合、の残りの変数の1つを除くすべてを修正して、得られたサブ関数単一の変数です。そして、アンドレーエフの引数を適用し、縮小定数が少なくともあることをHastadの結果を使用して（だけでなく、 $AC^0$ $n/b$ $f$ $b$ $f$ $g$ $k$ $X$ $g$ $g$ $2$ $3/2$ 前にSybbotovskayaが示したように）、結果の下限は約ます。もちろん、我々は内のすべての機能をことを知っているできるすべてが、固定することによって殺される、いくつかの定数のために、変数を。しかし、取得するために下には明示的な機能を見つけるには十分だろう束縛と言う、すべての固定もののによって殺されることができない、 $F(X)$ $n^3/k^2$ $AC^0$ $n^{1/d}$ $d\geq 2$ $n^2$ $AC^0$ $n^{1/2}$ 変数。そのような関数を2より大きい深さで検索する必要があります。

実際、上記の関数については、単純な貪欲な引数、Nechiporuk、Subbotovskaya、ランダムな制限を介して、下限を取得でき！このためには、「内部関数」g（Y）が自明でない（そのすべての変数に依存する）だけで十分です。さらに、この限界は、ドモーガンの式だけでなく、一定のファンインゲートの任意の基底にも当てはまります。 $F(X)$ $n^2/\log n$ $n/b$

証明：葉が個の式が与えられると、各ブロック、葉として最も少ない回数現れる変数を選択します。次に、残りのすべての変数を対応する定数に設定して、各が変数またはその否定に変わるようにします。得られた式は、元の式よりも少なくとも倍小さくなります。したがって、は少なくとも $F(X)$ $s$ $X_i$ $g(X_i)$ $n/b$ $s$ $n/b=n/\log n$ 時間式大きさのであり、。QED $2^b/\log b=n/\log\log n$ $f$ $s\geq n^{2-o(1)}$

以上を得るには、ランダムな制限の下でSubbotovskaya-Hastad収縮効果を組み込む必要があります。考えられる候補は、深さ回路が深さ回路よりも強力であることを示すためにHastadが使用するSipser関数のバージョンです。 $n^2$ $(d+1)$ $d$

— スタシス
ソース