任意のゲートセット上の回路下限

1980年代、Razborovは、計算に指数関数的に多くのANDおよびORゲートを必要とする明示的な単調なブール関数（CLIQUE関数など）があることを有名に示しました。ただし、ブールドメイン{0,1}の基底{AND、OR}は、普遍的ではない興味深いゲートセットの一例にすぎません。これは私の質問につながります：

興味深いことに、モノトーンゲートとは異なる、ゲートサイズの指数関数的な下限が知られているゲートのセットはありますか（回路に深さや他の制限はありません）。そうでない場合、そのような下限の妥当な候補であるゲートのセットはありますか？Razborovの単調な回路の結果がそうでなかったように、必ずしもNatural Proofsバリアを突破する必要がない境界はありますか？

このようなゲートセットが存在する場合、k≥3の場合、k-aryアルファベットを超えます。その理由は、バイナリアルファベット上で、

（1）モノトーンゲート（{AND、OR}）、

（2）線形ゲート（{NOT、XOR}）、および

（3）ユニバーサルゲート（{AND、OR、NOT}）

Postの分類定理から次のように、基本的に興味深い可能性を使い果たします。（定数-バイナリの場合は0および1-は常に無料で利用できると仮定していることに注意してください。）線形ゲートでは、すべてのブール関数f：{0,1} ⁿ →{0,1}計算可能は、線形サイズの回路で計算可能です。もちろん、普遍的なセットで、私たちは自然な証明と他の恐ろしい障壁に立ち向かっています。

一方、3シンボルまたは4シンボルアルファベット（たとえば）を超えるゲートセットを考慮すると、より幅広い可能性のセットが開かれます-少なくとも私の知る限り、それらの可能性は完全にマップされたことはありません複雑性理論の観点から（私が間違っている場合は修正してください）。可能性のあるゲートセットは、普遍代数の「クローン」の名前で広く研究されていることを知っています。その分野の結果が回路の複雑性に何を意味するのかを知っているように、私はその文献にもっと精通していたらと思います。

いずれにせよ、ゲートセットのクラスを単純に検討したい有限のアルファベットに拡張すれば、証明に適した他の劇的な回路下限が存在することは問題のようには見えません。私が間違っている場合、理由を教えてください！

（Sureshが示唆したようにコメントから削除されました。コメントの一部のエラーはここで修正されています。）

すばらしい質問をしてくれたScottに感謝します。

スコットは、下限の難しさの理由は、ブールの場合の操作の制限された言語かもしれないと示唆しているようです。ほとんどの回路が大きくなければならないことを示すシャノンのカウント引数は、カウント可能な表現力と数え切れないほど多くの回路の間のギャップに依存しているに違いありません。このギャップは、アルファベットに少なくとも3つの記号が含まれる場合に解消されるようです。

アルファベットサイズ2（ブール値の場合）の場合、クローンのラティスは数え切れないほど無限であり、Postのラティスと呼ばれます。

また、Postのラティスは、ブール値の場合に興味深い操作のベースが少数しかない理由を明らかにしています。

アルファベットサイズが3以上の場合、クローンの格子は数えられません。さらに、格子は自明でない格子のアイデンティティを満たさないため、格子の完全な記述を提供することは不可能と思われます。アルファベットサイズが4以上の場合、クローンのラティスには、実際にはすべての有限ラティスがサブラティスとして含まれます。そのため、アルファベットに3つ以上の記号がある場合に考慮すべき操作の興味深い可能性が無限にあります。

• Bulatov、Andrei A.、 クローンラティスが満たす条件、Algebra Universalis 46 237–241、2001。doi：10.1007 / PL00000340

スコットはさらに尋ねました：定数が無料で利用できると仮定した場合、クローンの格子は数えられないままですか？

答えはそうです、例えば

• GradimirVojvodić、JovankaPantović、RatkoTošić 、単項関数を含むクローンの数、NSJOM 27 83–87、1997 。（PDF）
• J.パントビッチ、R。トシッチ、およびG.ヴォイヴォディッチ、 3要素セットの機能的に完全な代数のカーディナリティ、代数ユニバーサル 38 38 136–140、1997。doi ：10.1007 / s000120050042

明らかにこれは以前に公開されました：

• アゴストン、I.、Demetrovics、J。、およびHannák、L 。すべての定数を含むクローンの数、Coll。数学。Soc。JánosBolyai 43 21–25、1983。

素敵な具体的な声明は次のとおりです。

• A.ブラトフ、A。クロヒン、K。サフィン、およびE.スハノフ、 クローン格子の構造について、In：「一般代数と離散数学」、編集者：K. DeneckeおよびO. Lueders、27–34。Heldermann Verlag、ベルリン、1995年。（PS）

帰結3（上記のようにÁgostonなどに起因）：。そして、すべての定数を含むのクローンの数はです。$k \ge 3$$\mathcal{L}_k$$2^{\aleph_0}$

まとめとして、回路の下限に非ブールクローンを使用する作業については知りません。これはさらに調査する価値があるようです。クローンのラティスについてはほとんど知られていないので、発見されるのを待っている興味深い操作のベースがあるかもしれません。

クローン理論とコンピューターサイエンスの間のより多くのリンクは、おそらく普遍代数で働く数学者にとっても大きな関心事でしょう。この種の相互作用の以前の例は、Peter Jeavonsが代数を制約言語に関連付けることができることを示したときに生じました。これにより、扱いやすい結果を代数のプロパティに変換できます。Andrei Bulatovは、これを使用して、ドメインサイズ3のCSPの二分法を証明しました。逆に言えば、コンピューターサイエンスアプリケーションの結果、飼いならされた一致理論に関心が寄せられています。クローン理論と非ブール回路の複雑さとのリンクから何が起こるのだろうか。

Sureshが示唆したように、これはコメントから移動されています。

関数を考慮すると、カウント引数はゲートを計算しますが、超線形サイズの回路を必要とする関数の明示的な例はありません。$f:{0,1}^n \rightarrow {0,1}^n$$\Omega(\frac{n^2}{\log(n)})$

編集。また、カウント引数を使用すると、定数ほとんどの関数がよりも複雑であることを示すことができます。したがって、関数をランダムに選択するだけで、高確率の複雑な機能。$\frac{n^2}{\log(n) * c}$$c$

一方、Scott Aaronsonがコメントで指摘しているように、 XORゲート（フーリエ変換、 "Sierpinski Gasket"マトリックスを必要とする線形変換の候補を見つけるのは難しくありません... ）、およびBram Cohenは、 XORゲートを必要とする関数の例を提案しました。Ω （nは3 / 2$\Omega(n log n)$$\Omega(n^{3/2})$

編集2.主な障害は、私が知る限り、線形ゲートであっても非線形下限を証明する方法がないことです（線形下限については、ゲート消去を使用できます。 -線形境界）。線形代数のいくつかの方法は本当に役立つに違いないように見えますが。したがって、候補を思いつくのはいいことですが、とにかくいくつかの新しい方法が必要です。

1. 実際、よりも大きなドメインで動作する回路の下限を証明する試みがありました。ツカチョフと言う[モスクワ大学のベストニク、Nr。、ロシア語]入力ベクトルで動作する回路を検討しました。ゲートとして、彼はとを許可しました。：彼は、次の関数と考え場合に含まれているまたは数「sがで少なくとも数である秒」。彼は、任意の回路（そのMIN / XOR上の）基底がを計算するために約ゲートを必要とすることを示しています$\{0,1\}$$a$$Z_3^n=\{0,1,2\}^n$$\min(x,y)$$xy\mod{2}$$f(a)=0$$a$$0$$2$$a$$1$$2^n/\sqrt{n}$$f$。しかし、それはそうでした！もちろん、演算回路の部分を除いて、同様の利点（より大きな、しかし有限の領域に行く）をもたらすさらなる結果を知りません。しかし、回路の場合のみ-より大きなドメインに行く分岐プログラムの場合、下限のタスクが多少簡単になります。

2. XORゲートのある回路。ここでは、深さの場合でも広く開かれています。上の明示的な線形変換の最高下限の形式は、です。深さ、XORゲートのみが許可されている場合でも、定数ような境界を証明することは困難です。$2$$y=Ax$$GF(2)$$n\log^{3/2}n$$n^{1+c}$$c>0$$2$