AND ORゲートとXORゲートを備えた境界深さ回路で記述されたフーリエ係数ブール関数

してみましょうブール関数であるとののから関数としてFについて考えてみましょうに。この言語では、fのフーリエ展開は、単に平方自由単項式に関するfの展開です。（これらの単項式は、の実関数の空間の基礎を形成します。係数の2乗和は単純にため、は2乗のない単項式の確率分布になります。この分布をF分布と呼びましょう。$f$$\{-1,1\}^n$$\{ -1,1 \}$$2^n$$\{-1,1\}^n$$1$$f$

fが多項式サイズの有界深度回路によって記述できる場合、F分布はサイズの単項式にほぼ指数関数的に小さい重みに集中していることが、Linial、Mansour、およびNisanの定理によってわかり。これは、Hastadスイッチング補題から派生しています。（直接的な証明が最も望ましいでしょう。）$\text{polylog } n$

mod 2ゲートを追加するとどうなりますか？考慮すべき一つの例は、関数であるに最初のn個の変数と最後のn個の変数のMOD 2内積として記載される変数。ここで、F分布は均一です。$IP_{2n}$$2n$

質問：ブール関数のF分布は、境界のある深さの多項式サイズAND、OR、MOD回路によって記述され、 「レベル」に集中しますか（超多項式的に小さな誤差まで）？$_2$$o(n)$

備考：

1. 反例への可能性のあるパスの1つは、バラバラの変数セットにさまざまなIPを「何らかの方法で接着」することですが、その方法はわかりません。おそらく質問を弱め、変数にいくつかの重みを割り当てることを許可する必要がありますが、それを行うための明確な方法も見当たりません。（したがって、これら2つの事項を参照することも、私が尋ねていることの一部です。）$_2k$

2. modゲートを許可する場合にも、質問（または成功したバリエーション）に対する肯定的な答えが適用されると推測します。（それで、質問をすることは、ライアン・ウィリアムズの最近の印象的なACC結果によって動機づけられました。） $_k$

3. MAJORITYの場合、F分布は「レベル」ごとに大きくなります（1 / poly）。

Lucaが示すように、私が尋ねた質問に対する答えは「いいえ」です。残る問題は、AND ORで記述できるブール関数のF分布のプロパティを見つける方法と、MAJORITYで共有されないmod 2ゲートを見つける方法を提案することです。

MONOTONE関数について説明することにより、質問を保存する試み：

質問：MONOTONEブール関数のF分布は、境界のある深さの多項式サイズAND、OR、MOD回路で記述され、 「レベル」に集中しますか（超多項式的に小さな誤差まで）？$_2$$o(n)$

を置き換えることもできるのではないかと推測するかもしれないので、この強力なバージョンの反例は興味深いかもしれません。 $o(n)$$\text{polylog} (n)$

ギル、このようなものは反例でしょうか？

ましょそのようなもので、と考える対であるとしてビット入力ここで Mビットのビット列であるおよび整数でありますの範囲はバイナリ記述されています。$m$$n=m+\log m$$n$$(x,i)$$x$$(x_1,\ldots ,x_m)$$i$$1,\ldots,m$

次に、を定義します$f(x,i):= x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$

各、関数f（）はフーリエ文字と相関関係があるため、「レベルi」には少なくとも質量の割合。（実際にはもっとですが、これで十分です）$i=1,\ldots,m$$1/m$$x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$$1/m^2$

f（）はdepth-3で実現できます。すべてのXORをレイヤーに入れてから、AND、OR、NOTの2つのレイヤーで「選択」を行います（通常どおり、NOTを深さに追加しない）。