なぜハミルトニアンサイクルはパーマネントとそれほど違うのですか？

多項式$f(x_1,\ldots,x_n)$は、m = poly （n ）の場合、多項式g （y 1、… 、y m）の単調な投影であり、代入 πがあります：{ y 1、… 、Y 、M } → { X 1、... 、X nは、0 、1$g(y_1,\ldots,y_m)$$m$$(n)$$\pi:\{y_1,\ldots,y_m\}\to\{x_1,\ldots,x_n, 0,1\}$ ように$f(x_1,\ldots,x_n)=g(\pi(y_1),\ldots,\pi(y_m))$。つまり、結果の多項式が fと一致するように、 gの各変数$y_j$を変数 x iまたは定数 0または 1で置き換えることができます。 $g$$x_i$$0$$1$$f$

永久多項式PERとハミルトニアンサイクル多項式HAMの違い（理由）に興味があります：

$$\mbox{PER}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}\ \ \ \ \mbox{and} \ \ \ \ \mbox{HAM}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}$$ ここで、最初の合計はすべての順列hに対するもの です：[であり、2番目はすべての循環順列 hのみです：[ n ] → [ n ]。 $h:[n]\to[n]$$h:[n]\to[n]$

質問：なぜHAMは単調な投影PERではないのですか？それともまだ？

私は証明を求めているのではなく、単に直感的な理由からです。

動機：最大の既知の単調回路低PER（Razborovによって証明）行きのは、「のみ」のまま。一方、結果 ヴァリアントはその暗示 クリークをN  HAM用の単調投影であるM ここ CLIQUE N（X ）= Σ S Π I < J ∈ S X iは、jの 総和とは、すべてのサブセット上でS ⊆ [ N ]サイズの| S $n^{\Omega(\log n)}$

$$\mbox{CLIQUE$_n$ is a monotone projection of HAM$_{m}$}$$ $$\mbox{CLIQUE}_n(x)=\sum_{S}\prod_{i < j\in S}x_{i,j}$$ $S\subseteq [n]$。私自身は、これらの一般的な結果から「単純で直接的な」削減を得ることができませんでしたが、アロンとボッパナは、この削減にはすでにm=25n2で十分であると主張します。 $|S|=\sqrt{n}$$m=25n^2$

しかし、待って：よくCLIQUEは、サイズの単調回路が必要であることが知られている（第一Razborovの方法を使用してアロンとBoppanaによって証明）。 $2^{n^{\Omega(1)}}$

だから、HAM PERの単調投影た、我々が持っているであろう PERにも結合低くなります。 $2^{n^{\Omega(1)}}$

実際、なぜ HAMはPERの非単調な投影でさえないのですか？ブール半環上では、前者はNP完全であり、後者はPにあります。しかし、なぜ？順列のために周期的であることが非常に特別な場所はどこですか？

PS明らかな違いの1つは、HAMが[n]を1つの（長い）サイクルだけでカバーするのに対し、PERが使用できるサイクルはこのためにばらばらになる可能性があることです。ことを確認します。これにより、HAMにPERを投影するハード方向と思わ不在ハミルトニアンサイクルの新しいグラフでばらばらサイクルの任意の被覆が存在しないことを意味しています。これがHAMがPERの予測ではない理由ですか？

PPSは、実際には、ヴァリアントより印加結果を証明した：すべての多項式とC U ∈ { 0 、1 }、その係数は、C uは、P-時間計算可能であるがは、m = poly （n ）に対するHAM mの投影（アルゴリズムが単調でない場合は必ずしも単調ではない$f(x)=\sum_{u\subseteq [n]}c_u\prod_{i\in u}x_i$$c_u\in\{0,1\}$$c_u$$_m$$m$$(n)$。PERにもこのプロパティがありますが、特性フィールドに対してのみです。したがって、この意味で、HAMとPER は実際に「類似」しています。ただし、GF（2）にいなければ、ブルーノが思い出したように、PERは決定的で簡単です。$\neq 2$

以下は、ハミルトニアンサイクル多項式が、パーマネントの多項式サイズの単調な投影ではないという、特性ゼロのリング上の証明です。基本的な考え方は、非負の係数を持つ多項式の単調な射影により、一方のニュートンポリトープが他方のニュートンポリトープの拡張定式化になり、その後、拡張定式化に最近の下限が適用されるということです。

ましょうとG （Y 1、... 、Y mは）（ケースがここにあるように）非負係数を有する多項式です。fが（質問の表記法に続く）割り当てπの下のgの単調な射影であると仮定します。πの下で、gの各単項式は0（その変数の1つが0にマッピングされる場合）またはfの単項式のいずれかにマッピングされます。非負性のためキャンセルはできません。$f(x_1,\dotsc,x_n)$$g(y_1,\dotsc,y_m)$$f$$g$$\pi$$\pi$$g$$f$

LET のニュートンポリトープ示すFを、同様のためのNのE W （G ）。$New(f)$$f$$New(g)$

クレームは：存在のために拡張された製剤である中のR M用いて、≤ N + m個の変数を、最もにある制約の数N + Mプラス定義の制約の数NのEをwは（G ）。$New(f)$$\mathbb{R}^m$$\leq n+m$$n+m$$New(g)$

レッツは：ここでどのだ上の座標であるRの M（中のNのE W （G ）。すなわち、整数点;生活のR M座標（E 1、... 、EのM）に相当します単項式y e 1 1 ⋯ y e m m）。それらのための私ようにπ （Y I）$e_1,\dotsc,e_m$$\mathbb{R}^m$$New(g)$$\mathbb{R}^m$$(e_1,\dotsc,e_m)$$y_1^{e_1} \dotsb y_m^{e_m}$$i$、 N e w （g ）と { e i = 0 }と交差します（ y iを含まない単項式のみが投影に寄与できるため）。これにより、最大で m個の追加の制約が追加されます。してみましょう Pは、結果の多面体を表します。次いで π誘導リニアマップ Lのπ：R M → R nは、その結果のL π（P ）= N EをW （F $\pi(y_i)=0$$New(g)$$\{e_i = 0\}$$y_i$$m$$P$$\pi$$L_{\pi}\colon \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{n}$$L_{\pi}(P) = New(f)$。この最後の部分は、キャンセルの欠如から始まります。したがって、我々はのための拡張された製剤取得取ることによって、N + m個の変数の制約P上のM個の定義変数、制約Lのπを（そのほとんどであるN、それぞれに対して1つのX I） 。QEDクレーム$New(f)$$n+m$$P$$m$$L_{\pi}$$n$$x_i$

$f$$n$$g$$m$$f$$g$$e_{ij}$$m$

The Newton polytope of the Ham. Cycle polynomial is the Hamiltonian cycle polytope (surprise, surprise). But this polytope is the TSP polytope, which requires $2^{n^{\Omega(1)}}$ equations to describe any extended formulation of, which, when $m$ is subexponential, contradicts the small extended formulation given by the cycle cover polytope and $L_{\pi}$ as above.

(Note that this argument fails if $f$, $g$, or $\pi$ can have negative coefficients, as then there can be cancellations, so $L_{\pi}$ need not map onto $New(f)$.)

It's interesting to note that the geometry of these polytopes is closely related to the fact that matching is in $\mathsf{P}$ while Hamilton cycle is $\mathsf{NP}$-complete, but I think the above reasoning shows how the geometric structure here really can add something beyond that complexity classification.