SATの現在の最適な空間の下限は？

SATの現在の最適な空間の下限は何ですか？

ここでスペースの下限とは、バイナリワークテープアルファベットを使用するチューリングマシンで使用されるワークテープセルの数を意味します。TMは内部状態を使用して任意の固定数のワークテープセルをシミュレートできるため、定数の加法的項は避けられません。ただし、暗黙的に残されることが多い乗法定数を制御することに興味があります。通常のセットアップでは、より大きなアルファベットを介して任意の定数圧縮が許可されるため、乗法定数はそこでは関係ありませんが、固定アルファベットではそれを考慮することができるはずです。

たとえば、SATには以上の $\log\log n + c$ スペースが必要です。そうでない場合、この空間の上限は、シミュレーションによって時間の上限につながるため、SATの結合された時空の下限に違反します（リンクを参照してください）質問）。また、SATが少なくとも必要であることを主張するために、この引数を向上させることが可能と思わいくつかの小さな正のためのスペースのようなものである $n^{1+o(1)}$ $n^{1.801+o(1)}$ $\delta\log n + c$ $\delta$ $0.801/C$ ここで、 $C$ は、時間制限TMによる空間制限TMのシミュレーションの定数指数です。

あいにく、 $C$ は通常非常に大きくなります（TMのテープが最初に大きなアルファベットを介して1本のテープにエンコードされる通常のシミュレーションでは、少なくとも2つ）。このような境界 $\delta \ll 1$ かなり弱く、そして私は特にの下限空間に興味がある $\log n + c$ 。 $\Omega(n^d)$ ステップの無条件の時間下限は、十分に大きい定数 $d > 1$ 場合、シミュレーションによるそのような空間の下限を意味します。しかし、時間下の境界 $\Omega(n^d)$ のために $d>1$ は、大きなについては言うまでもなく、現在知られていません $d$ 。

別の言い方をすると、SATの超線形時間の下限の結果であるが、より直接取得できる可能性があるものを探しています。

— アンドラス・サラモン
ソース

他の回答（例：RW）のように、時間または空間の下限に個別に焦点を当てることは手の届かない範囲にあり、弱い/一般的な既知の境界のみを持っているようです。時空間の複雑さの組み合わせ。

— vzn 14年

回答:

（マルチテープチューリングマシンの）既知の最良の範囲は対数であるように見えます。

仮定バイナリworktapeのビットが任意のかどうかを決定するのに十分であり、 CNF式ビットがすべて十分に大きいため、充足され。標準シミュレーションでは、最大でビットのスペースを使用する状態のTMは、最大であるTMによってシミュレートできます。 $\delta\log n$ $n$ $n$ $q$ $s$ $qns2^s = 2^{s+\log n + \log s + \log q}$ さまざまな構成。マシンが受け入れるときは常に、この数の構成と同じ長さの受け入れ状態に達する一連の（非決定的）移動があります。場合、これが最大である（そのノート、すべての入力の長さのために同じままで）。別のカウンターテープ、 $s = \Omega(\log n)$ $2^{s(2+o(1))}$ $q$ $n$ $M$ 最初にこの量を単項で書き込み、次にシミュレーションの各ステップでカウンターのシンボルの1つを消去し、カウンターシンボルがなくなると計算を終了できます。これにより、定数のオーバーヘッド（3のようなもの）が作成され、指数の項によって吸収されます。したがって、ステップで十分です。 $o(1)$ $2^{s(2+o(1))}$

仮定によって、時空製品が最大であるので、。 $s \le \delta\log n$ $\delta\log n2^{\delta\log n(2+o(1))} = n^{\delta(2+o(1))}$

Rahul Santhanamは2001年にdoi：10.1016 / S0020-0190（00）00227-1を参照）、SATを決定するチューリングマシンの時空積は少なくともでなければならないことを示しました。彼の議論は非決定的マシンにも当てはまります。したがって、及び少なくともバイナリworktapeのビットが必要とされています。 $\Omega(n^{2-o(1)})$ $\delta \ge 1$ $\log n$

より一般的には、追加のワークテープとより大きなワークテープのアルファベットは、定数を指数で変化させます。これにより、最終的に係数は減少しますが、スペースの下限は依然としてです。 $\delta$ $\Omega(\log n)$

— アンドラス・サラモン
ソース

おそらく、この方法でSATの空間の下限を証明でき（ただし、制限/漸近解析に自信がないので、私の答えは完全に間違っている可能性があります）。 $\log n$

1読み取り専用入力テープおよび1本のワークテープでチューリング機械モデル上で、両方の上バイナリアルファベット、とのすべての決定器のためサイズの入力に状態我々は持っています。 $\Sigma = \{0,1\}$ $c$ $n$

T （ n ） \leq c 2^{S （ n ）} n S （ n ） （ 1 ）

$T(n) \leq c \, 2^{S(n)} \, n \, S(n) \quad (1)$

そうしないと、チューリングマシンは永久にループします（コンポーネントはすべての可能なテープ構成を表し、コンポーネントは入力テープヘッド位置を表し、コンポーネントはワークテープヘッド位置を表します）。バイナリアルファベット上のテープの単一ヘッドTM（1）になる。 $2^{S(n)}$ $n$ $S(n)$ $T(n) \leq c 2^{S(n)} S(n)$

両方の項にを乗算し、SATの一般的な時空トレードオフを適用すると、次のようになります。 $S(n)$

n^{1.801 + o （ 1 ）} \leq S （ n ） \cdot T （ n ） \leq c S （ n ）^{2} 2^{S （ n ）} n

$n^{1.801+o(1)} \leq S(n)\cdot T(n) \leq c \, S(n)^2 \, 2^{S(n)} \, n$

だから、上側のようにバインドされた空間選ぶ SATについては、確かに、contraddictionにつながります $S(n) \leq (\log n)^{1 - \epsilon}$

\underset{n \to \infty}{リム} \frac{n^{1.801}}{c （ （ ログ n ）^{1 - ϵ} ）^{2} 2^{（ ログ n ）^{1 - ϵ}} n} =

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^{1.801}}{ c \, ((\log n)^{1-\epsilon})^2 2^{(\log n)^{1-\epsilon}} n } =$

lim_{n \to \infty} (0.801 \cdot \log n - \log c - 2 (1 - ϵ) \log (\log n) - （ ログ n ）^{1 - ϵ} ） = \infty

$\lim_{n \to \infty} \Big( 0.801 \cdot \log n - \log c - 2 (1- \epsilon) \log (\log n) - (\log n)^{1-\epsilon}\Big) = \infty$

— マルツィオ・デ・ビアシ
ソース

上限が矛盾につながることを示す少なくとも2つの一般的な方法があるようです。主に私が使用して考えていた（本質的に同一の、しかし、との仕事に少し簡単に）、不等式

定数

。矛盾からも、次のようにあなたが提供する最後のステップはまた、強くすることができる

のために

o (\log n)

$o(\log n)$

T (n) \leq 2^{\log n + C . S (n)}

$T(n) \le 2^{\log n + C.S(n)}$

C

$C$

S (n) \leq δ \log n

$S(n) \le \delta\log n$

。

δ < 0.801 / C

$\delta < 0.801/C$

— アンドラスサラモン14年

@AndrásSalamon：上

バウンド側、あなたは簡単に改善を期待することはできません：S.ブスとR.ウィリアムズから。時空間下限の交替取引証明の限界、2012：「充足可能性問題のより良い時空間下限を証明するために、新しい技術が必要であることを証明します。つまり、「交替取引の方法SATは

時間で解けず、

空間は

S \cdot T

$S\cdot T$

n^{2 \cos (π / 7)}

$n^{2\cos(\pi /7)}$

n^{o (1)}

$n^{o(1)}$

時間下のすべてのために、バインド

」あなたが任意のアイデアを持っています:-)。？

n^{2 \cos (π / 7)} + ϵ

$n^{2\cos(\pi /7)}+\epsilon$

ϵ > 0

$\epsilon >0$

— マルツィオ・デ・BIASI

これは、ライアンのアプローチがこれらの範囲に及ぶ限りであるからこそ、時空の境界を使用してできる限りであると思います。

— アンドラスサラモン14年

SATインスタンスを保存する場合でも、

が必要であり、それを読み取るには

時間が必要です。これは、

STの下限を証明しませんか？

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— T ....

証明：@Turbo、すべてのアルゴリズムは、SATインスタンス格納しなければならないかを決定することは明らかではないが、

表示になる下界決定的スペースビット

。

Ω (n)

$\Omega(n)$

L ⊊ N P

$\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{NP}$

— アンドラスサラモン