多項式時間からログスペースを分離する

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決定論的対数空間（ $L$ ）で決定可能な問題は、せいぜい多項式時間（ $P$ ）で実行されることは明らかです。 $L$ と間には複雑なクラスが豊富にあります $P$ 。例には、 $NL$ 、 $LogCFL$ 、 $NC^i$ 、 $SAC^i$ 、 $AC^i$ 、 $SC^i$ ます。と広く信じられてい $L \neq P$ ます。

私のブログ投稿の 1つで、を証明するための2つのアプローチを（対応する推測とともに）言及しました $L \neq P$ 。これらのアプローチは両方とも分岐プログラムに基づいており、20年間隔です!! そこ分離に向かって他のアプローチ及び/又は推測されている $L$ から $P$ （OR）との間の任意の中間クラス分離 $L$ 及び $P$ 。

cc.complexity-theory lower-bounds space-bounded

— シヴァ・キンタリ
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この問題を考えるTM実行シーケンスの圧縮が関連している

— vzn

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回路深さ下限（等価的に、式サイズ下限）は、おそらく最も自然なアプローチである：A超は $\log^2(n)$ に問題のために下限深さ $\mathsf P$ 分離なる $\mathsf P$ から $\mathsf L$ 、及びKarchmer-Wigderson通信複雑技術よいですそのための自然なものである。

— ノーム
ソース

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ここでは自然な証明の障害は問題になりませんか？なぜそうなのか興味があります。

— スレシュヴェンカト

6

はい、確かにそのような証明は「非自然」でなければならないように思えますが、私が理解している限り、ブログ投稿で言及されている他のアプローチが必要です。

— ノーム

8

[1]は、グラフのサイズと比較してビットサイズが十分に大きい（ただし線形である）mincost-flowのインスタンスの下限を証明し、さらに十分に小さい入力に対して同じ下限を示すことができることを証明しましたビットサイズは、（したがって）を意味します。これは、高いレベルでは、回路の深さの下限（=式サイズの下限）を証明するという点でNoamの答えと同じですが、Karchmer-Wigdersonゲームとは非常に異なる方向にあるようです。 $\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$

より詳細には、[1]は次のことを示しています。論文と同じ表記を使用して、がmincost-flow言語を示すものとします。で示される頂点グラフ上のmincost-flow言語は、ビット列でエンコードされた整数を使用して、いくつかののサブセットと考えることができます。ましょ内の全てのベクトルの集合表す $L$ $n$ $L(n)$ $\mathbb{Z}^{k(n)}$ $k(n) = \Theta(n^2)$ $B(a,n)$ $\mathbb{Z}^{k(n)}$ 各整数座標のビットサイズは最大でです。関数考える（私たちが後でどのような機能を指定します）、私たちはそれを言うセパレートの中にの点あればを正確ものである $an$ $f(x_1, \dotsc, x_k)$ $f$ $L(n)$ $B(a,n)$ $L(n) \cap B(a,n)$ 、その結果。 $\vec{x} \in B(a,n)$ $f(\vec{x}) = 1$

$L(n)$ $B(a,n)$ $\det(M(\vec{x}))$ $M$ $\leq 2^{n/d}$ $x_1, \dotsc, x_k$ $a < 1/(2d)$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$

ここでは、ビットバウンドとサイズバウンドが重要です。同じ論文で、彼は次のことを示しました。 $an$ $2^{n/d}$

定理[1、定理7.4]前述の命題の仮説は、十分に大きいすべてのビット境界当てはまります。 $a$

上記の定理の証明は、いくつかの重いハンマーをブラックボックスとして使用しますが、それ以外は基本的です（注： "elementary" " easy "）。つまり、実際の半代数多様体の接続されたコンポーネントの数のミルナー・トム境界（実際の計算ツリーモデルの要素の区別/並べ替えの下限を証明するためにBen-Orが使用するのと同じ境界）、コリンズ分解（）、一般的な位置引数、および他のいくつかのアイデアに対する効果的な量指定子の除去を証明するために使用されます。ただし、これらの手法はすべて、関係する多項式の次数にのみ依存するため、上記の命題のようにを証明するために使用することはできません（実際、[1、Prop。7.5]多項式を構築します $\neq$ $\mathbb{R}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$ $g$ と同程度の上記の命題がで失敗するようなの代わりに）。この状況を分析し、学位を超えた物件を探すことは、GCTのインスピレーションの1つでした。 $\det$ $g$ $\det$

[1] K. Mulmuley。ビット操作のない並列モデルの下限。SIAM J. Comput。、28（4）、1460–1509、1999

— ジョシュア・グロチョウ
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友人のジェームスが、昔のこのスレッドが再燃したと私に言ったのは私の一日でした。有難うございます。

また、L対Log（DCFL）対Log（CFL）に関連する興味深い参照を共有したいと思いました。すてきな一日を！

http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-14031-0_35#page-1

http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-10003-2_89?no-access=true

http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-00982-2_42#page-1

http://www.researchgate.net/publication/220115950_A_Hardest_Language_Recognized_by_Two-Way_Nondeterministic_Pushdown_Automata

— マイケル・ウェハール
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この新しい論文は、Luca AcetoのブログでICALP 2014のEATCSの最高の学生論文としてハイライトされ、NL / Pを分離する新しい方法があります。

交差点の非空虚性 Weharの硬度結果

Karakostas、Lipton、およびViglas（2003）の構成を慎重に再検討して、DFA（決定論的有限オートマトン）の交差非空性問題が複雑度クラスNLを特徴付けることを示します。特に、バイナリワークテープのアルファベットに制限されている場合、 DFAの交差ごとに空でないことは空間で解けるが、ではないような定数およびが存在しスペース。任意の数のDFAの交差点に対して空でないことを解決できないように構成を最適化し $c_1$ $c_2$ $k$ $k$ $c_1 k \log(n)$ $c_2 k \log(n)$ $o \left( \frac{n}{\log(n) \log(\log(n))} \right)$ スペース。さらに、 DFAのすべての交差非空性が時間で解けるような関数が存在する場合、P≠NLです。定数が存在せず、 DFAのすべての交差の非空が時間で解ける場合、PにはNLより大きな空間複雑度クラスは含まれません。 $f(k) = o(k)$ $k$ $k$ $n^{f(k)}$ $c$ $k$ $k$ $n^c$

— vzn
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