プロトコルのパーティション番号と確定的な通信の複雑さ

ほかに（決定的）通信複雑 関係の、必要な通信量の別の基本的な尺度であるプロトコルパーティション数。これら2つの測定値の関係は、一定の係数まで知られています。Kushilevitz and Nisan（1997）によるモノグラフは、$cc(R)$$R$ $pp(R)$

2番目の不等式に関しては、関係（の無限族）を与えるのは簡単です。log 2（p p （R ））= c c （R $R$$\log_2(pp(R)) = cc(R)$

最初の不等式に関して、Doerr（1999）は、最初の境界の係数を置き換えることができることを示し。仮にあったとしても、最初の限界をどれだけ改善できますか？ c = $c=3$$c=2.223$

説明の複雑さからの追加の動機：定数を改善すると、特定の有限言語を記述する特定のDFAに相当する正規表現の最小サイズの下限が改善されます Johannsen（2008）を参照してください。 $2.223$

この質問に直接関係はありませんが、Kushilevitz、Linial、Ostrovsky（1999）は関係を与えました。ここで、は矩形パーティション番号。$R$$cc(R)/(2-o(1)) \ge \log_2(rp(R))$$rp(R)$

EDIT：お知らせ上記の質問は、ブール回路の複雑さは、次の質問と等価であること：最適な定数は何である leafsize Lのすべてのブールド・モルガンの式は、最大で深さの同等の式に変換することができるような？$c$$c \log_2L$

参照：

• クシレビッツ、エヤル; Nisan、Noam：コミュニケーションの複雑さ。1997年ケンブリッジ大学出版局。
• クシレビッツ、エヤル; リニアル、ネイサン。オストロフスキー、ラフェイル：通信の複雑さにおける線形配列予想は誤り、Combinatorica 19（2）：241-254、1999
• Doerr、Benjamin：Communication Complexity and the Protocol Partition Number、Technical Report 99-28、Berichtsreihe des Mathematischen Seminars derUniversitätKiel、1999。
• グルーバー、ヘルマン; ヨハンセン、1月：通信の複雑さを使用した正規表現サイズの最適な下限。In：Foundations of Software Science and Computation Structures 2008（FoSSaCS 2008）、LNCS 4962、273-286。スプリンガー。

では、2つで十分であること、つまりあることを証明してみましょう。申し訳ありませんが、葉の数/ pp（R）の代わりに葉を書くことがあります。数が1より小さい場合は、明らかにこれを意味します。また、通常、非texの可読性を高めるために、代わりに<を記述します。$cc(R)\le 2\log_2(pp(R))$$\le$

間接的に、これには当てはまらないRがあり、不平等に違反する可能な限り小さいpp（R）でRをとるとしましょう。基本的に、2ビットを使用すると、プロトコルツリーの4つの結果すべてでリーフの数を半分にできることを示す必要があります。その後、帰納法を使用して終了します。

XによるアリスとYによるボブの入力の可能なセットを示します。pp（R）葉を達成するプロトコルツリーの中心を取ります。 pp（R）の葉の、対応する入力をX0およびY0で示します。一般性を失うことなく、アリスは中心で話し、彼女の入力がXLまたはXRに属しているかどうかを判断できます。XLまたはXRは、互いに素な結合がX0です。XL Y0 by L、XR Y0 by R、残りはDのpp（R）に対する葉の比率を示します。長方形がY0 XとAで交差し、長方形がX0交差する× × $\times$$\times$$\times$$\times$ YはB、残りはC。A+ B + C = Dであることに注意してください。

これで、L + R> 1/2、L、R <1/2であり、一般性を失うことなく、Lが最大Rであると仮定できます。また、D = A + B + C <1/2を知っています。したがって、2L + A + B <1から、L + A <1/2またはL + B <1/2のいずれかであることがわかり、これらは2つのケースになります。

ケースL + A <1/2：最初のボブは、入力がY0に属するかどうかを判断します。そうでない場合、最大でD <1/2の葉が残っています。存在する場合、アリスは自分の入力がXRに属しているかどうかを判断します。そうでない場合、最大でL + A <1/2の葉が残っています。存在する場合、R <1/2の葉が残っています。

ケースL + B <1/2：最初のアリスは、入力がXRに属するかどうかを示します。存在する場合、ボブはY0に属しているかどうかを判断し、これに応じてRまたはBの葉が残っています。アリスの入力がXRでない場合、アリスは自分の入力がXLであるかどうかを判断します。そうである場合、L + B <1/2の葉が残っています。そうでない場合、最大でD <1/2の葉が残っています。

いずれの場合も完了です。どう考えているか教えてください。

を与えるdomotorpの優れた答えに加えて、最近のJukna（2012）のモノグラフは、6.1章でこの質問の詳細な議論を提供することを言及させてください。Juknaによれば、現在の最高の限界はKhrapchenko（1978）によるです。C ≤ $c\le 2$$c \le 1.73$

参照資料

スタシスジュクナ。ブール関数の複雑さ：進歩とフロンティア。スプリンガー、2012年。

VM Khrapchenko。複雑さと深さの関係について。Synthezis of Control Systems 32：76–94、1978のMetody Diskretnogo Analiza。