Deolalikarの論文に対するGurvitsのテンソルランクの解釈を説明する

[注：この質問は、Deolalikarの論文の正確性または不正確性に左右されるものではないと考えています。]

Scott AaronsonのブログShtetl Optimizedで、Deolalikarの最近のP対NPの試みに関する議論で、Leonid Gurvitsは次のコメントを行いました。

私はアプローチを理解/再定式化しようとしましたが、ここに私の、おそらく非常に最小限の試みがあります：論文の離散確率分布は、テンソルまたは非常に特殊な多重線形多項式と見なすことができます。「P = NP」という仮定は、どういうわけかテンソルランクの（多​​項式？）上限を与えます。そして最後に、既知の確率的結果を使用して、彼は同じランクの非一致（指数関数的）下限を取得します。私が正しい場合、このアプローチは、以前の代数幾何学的アプローチを推進するための非常に賢明な、良い意味で初歩的な方法です。

Deolalikarの証拠の疑わしい/既知の欠陥にもかかわらず、私は興味があります：

Deolalikarの論文で議論された分布は、どのようにテンソルと見なされますか？また、彼の結果の記述（正確性に関係なく）は、テンソルランクに関する記述にどのように変換されますか？

[私はまったく無関係だと思っていたものを読んでいて、それから「aha moment」があったので、答えの少なくとも一部を理解したと思う。これがGurvitsが念頭に置いていたものかどうかはわかりませんが、これは理にかなっています。

n個のバイナリ変数の分布は、テンソル積（n因子）の要素として見ることができます（実際には関連する射影空間ですが、それについて説明します）。私たちは、それぞれのコピーの基本要素ラベル付けした場合することによって及び$x_1,...,x_n$$\mathbb{R}^2 \otimes \dotsb \otimes \mathbb{R}^{2}$$\mathbb{R}^2$$|0\rangle$$|1\rangle$、このテンソル積空間の基礎は、すべてのnビット文字列のセットによって与えられます。係数の合計が1になるこのテンソル積の要素がある場合、任意のnビット文字列の係数を、その文字列が発生する確率、つまり確率分布として解釈できます！これで、確率分布（係数の合計が1）のみが必要になるため、テンソル積内の任意のベクトルを正規化して、その特性を持たせることができます。正規化されたテンソルのみを考慮することにより、実際にはこのテンソル積の射影空間の要素のみを考慮します。

ここで、テンソルランクをDeolalikarのポリログパラメーター化可能性の概念に接続する必要があります。Terry Taoのこのページによると、Deolalikarのポリログパラメーター化可能性の概念は、分布をここで、pa（i）は一連のpolylog（n）変数で、「iの親」およびは、これらの親変数のみに依存する上の分布です。さらに、親の有向グラフは非周期的である必要があります。$\mu$$\mu(x_1,...,x_n) = \prod_{i=1}^{n} p_i(x_i ; x_{pa(i)})$$p_i( - ; x_{pa(i)})$$x_i$

非常に単純な種類の配布から始めましょう。がを満たし、一部の分布（はのみに依存するを満たしているとします。次に、対応するテンソルがランク1のテンソルであることを願っています：。$\mu$$\mu(x_1, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n} p_i(x_i)$$p_i$$p_i$$x_i$$(p_1(0)|0\rangle + p_1(1)|1\rangle) \otimes \dotsb \otimes (p_n(0)|0\rangle + p_n(1)|1\rangle)$

少し複雑な分布の場合、すべてのについて（互いの否定）の文字列にわたる均一分布を検討するとします。Deolalikarの言語のTaoの解釈では、これは -parametrizable分布になります。次に、これはテンソルに対応します（正規化する必要があります）。これを完全に記述すると、項が含まれるため、多くてもテンソルランクがあります。しかし、以上$x_{2i} = 1 - x_{2i+1}$$i$$O(1)$$(|0\rangle \otimes |1\rangle + |1\rangle \otimes |0\rangle) \otimes \dotsb \otimes (|0\rangle \otimes |1\rangle + |1\rangle \otimes |0\rangle)$$2^{n/2}$$2^{n/2}$$\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^2$、テンソルランクは1です！後者の事実は、分解が数で記述できるという事実に対応すると信じています隣接ペアのそれぞれについて、隣接ビットの各ペアについて。ブールキューブ上の任意の分布muに理論上必要な実数よりも大幅に小さい。$O(n)$$O(1)$$O(n)$$2^n$

私はまだ2つの問題を定式化するのに苦労しています、そしてそれらに関するさらなる回答をいただければ幸いです：

• 後者の対応を正確にする
• polylog-parametrizable分布に対応するテンソルの公式を記述し、そのランクの上限を取得します。