ゲートファンアウト1 を使用して

編集（2011年8月22日）：

私はさらに質問を簡素化し、質問に報奨金を置いています。おそらく、この単純な質問には簡単な答えがあります。また、関連性がなくなった元の質問のすべての部分を取り消し線で囲みます。（元の質問に部分的に答えてくれたStasys JuknaとRyan O'Donnellに感謝します！）

バックグラウンド：

AC所与⁰深さkとサイズSを有する回路、別のAC存在⁰深さkとサイズと同じ関数演算回路新しい回路は全てゲートのファンアウト= 1を有するように。つまり、回路はツリーのように見えます（入力は複数のゲートにファンアウトする可能性があるため、入力を除く）。これを行う1つの方法は、すべてのゲートのファンアウトが1になるまで、ファンアウトが1より大きいすべてのゲートを複製することです。 $O(S^k)$

~~しかし、これはAC ⁰回路をファンアウト1のAC ⁰回路に変換する最も効率的な方法ですか？Ryan O'Donnellのコースノートの講義14で以下を読みました。~~

Cがパリティを計算するサイズSの深さkの回路であると仮定します。Cをレベル化されたdepth-k回路に変換できることを示す演習です。レベルはANDゲートとORゲートを交互に切り替え、入力ワイヤは2nリテラルであり、各ゲートにはファンアウト1があります（つまり、ツリーです）） -せいぜいへとサイズが大きく。 $(2kS)^2 \leq O(S^4)$

脚注：実際、これは少しややこしい練習です。サイズのみを取得する必要がある場合は簡単です。これは、kを「定数」と考える場合、この目的ではほぼ同じです。 $O(S^k)$

これは、サイズSの深さk AC ⁰回路を取り、ファンアウト1、深さk、サイズ AC ⁰回路に変換する方法があることを意味しますか？もしそうなら、これはどのように行われ、これは最も有名な方法ですか？ $(2kS)^2$

元の質問：

AC所与⁰深さkとサイズSを有する回路、ACにこれを変換する（結果として得られる回路の回路規模を最小限に抑えるという点で）最もよく知られた方法何⁰ 1ファンアウト深さkおよびゲートの回路は？これについて知られている下限はありますか？

より新しく、より簡単な質問：

この質問は、結果の回路が一定の深さであることを私が主張しない元の問題の緩和です。上で説明したように、深さk、サイズSのAC ⁰回路をサイズ回路に変換して、新しい回路がすべてのゲートでファンアウト= 1になるようにする方法があります。より良い構造はありますか？ $O(S^k)$

深さkおよびサイズSのAC ⁰回路が与えられた場合、これをゲートファンアウト1を持つ任意の深さの回路に変換する（結果の回路の回路サイズを最小化するという点で）最もよく知られている方法は何ですか？

cc.complexity-theory lower-bounds circuit-complexity

— ロビン・コタリ
ソース

O (S^{k})

$O(S^k)$

(2 k S)^{2}

$(2kS)^2$

S

$S$

O (S^{5})

$O(S^5)$

S

$S$

O (\log S)

$O(\log S)$ （よく知られている結果、誤ってSpiraに起因）。したがって、回路の深さがほとんど

であることがわかり

。しかし、これはあまりにも素晴らしいので、回路の深さの最もよく知られている上限は

です。

O (\log S)

$O(\log S)$

O (S / \log S)

$O(S/\log S)$

— Stasys

O (k S)^{2})

$O(kS)^2)$

S

$S$

S^{2}

$S^2$

A C^{0}

$AC^0$

@Ryan O'Donnell：実際、ブローアップ

レイヤー化された回路を簡単に作成できます。アソシエティビティを使用して、すべてのANDゲートに入力としてORゲートのみが含まれることを実現します。深さは変更されません。次に、深さでゲートを配置し、必要に応じて単純なfanin-1 ORおよびANDゲートを追加して、階層化された回路を取得します。深さは同じままで、サイズはkの係数だけ増加します。しかし、Robinは回路を数式に変換することを望んでいることを理解しました（入力リテラルのファンアウトが大きい場合を除き、ツリーのような回路）。

O (k S)

$O(kS)$

— Stasys

@Ryan O'Donnell：回答と、講義ノートをオンラインで公開してくれてありがとう！特に、ブール関数の分析に関する講義ノートは非常に役立ちました。

— ロビンコタリ

以前のコメントを要約してみます。

$k$ $S$ $A$ $S$ $F$ $O(S^A)$ $A=O(S/\log^2 S)$ $S=O(n)$ $\exp(n/\log n)$

$F$ $F′$ $M=O(S^{2A})$ $D$ $F′$ $D=O(\log M)=O(A\log S)$ $D\leq 1.73\log_2M$ $Depth=O(Size/\log Size)$ $A$ $S/\log^2 S$

$k$ $A=k$ $A=k−1$ $k=3$ $S$ $S^2$ ？答えは「いいえ」であるべきだと思います（学生にとって興味深い練習になるでしょう）。深さ3の式は、CNFの大きなORです。質問は、多くの節を共有しているCNFのORを見つけることです。

$S$ $D$ $3S−2n$ $2D$ $O(S^2)$ $O(D\log S)$

$f$ $AC^0$ $k$ $S$ $f$ $D\leq k-1+\lceil\log_2S\rceil$ $D\leq k\log S$ $\log S$

— スタシス
ソース