タグ付けされた質問 「lower-bounds」

n × n行列のガウス複雑度を、行列を上三角形式にするために必要な基本的な行と列の操作の最小数になるように定義します。これは、0からn 2までの量です（ガウス消去法を使用）。この概念はあらゆる分野で意味をなします。n×nn×nn \times n000n2n2n^2 この問題は確かに非常に基本的なものであり、研究されたに違いありません。驚いたことに、私は参考文献を知りません。だから、私はそこにある参考文献に満足しています。しかし、もちろん、主な質問は次のとおりです。 明らかな明確な下限はありますか？ 自明ではないことにより、超線形を意味します。明確にするために：有限体上で、カウント引数は、ランダム行列の複雑度がn ^ 2であることを示します（同様の主張は無限体でも当てはまります）。したがって、私たちが探しているのは、行列の明示的なファミリ、たとえば、Hadmard行列です。これは、ランダム関数の複雑度が高いことを知っているブール回路の複雑度と同じですが、このプロパティを持つ明示的な関数を探しています。

18 cc.complexity-theory  lower-bounds  matrices 

Blumの下限は、明示的な関数完全な基底で最もよく知られている回路の下限を参照してください。関連する結果については、この質問に対するJuknaの回答。3n−o(n)3n−o(n)3n-o(n)f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f : \{0,1\}^n \to \{0,1\} の範囲が場合、最もよく知られている下限は何ですか？特に、、または、より良い結果が得られますか？{ 0 、1 } M M = N M = 2fff{0,1}m{0,1}m\{0,1\}^mm=nm=nm = nm=2m=2m = 2

17 circuit-complexity  lower-bounds 

AC0AC0AC^{0}pppAC0[q]AC0[q]AC^{0}[q]AC0[q]AC0[q]AC^0[q]qqqgcd(p,q)=1gcd(p,q)=1\gcd(p,q)=1。ただし、入力を制限し、有限体で多項式を近似するなどの古典的な方法を使用すると、多対数深度回路で具体的な下限の結果を取得することはできません。 幾何学的複雑性理論につながり、ビット単位の演算を使用しない効率的な並列計算では最小コストフローの問題を計算できないことを示すSTOC'96論文を知っています。 これは、特定の制限された設定で、一部の完全問題の下限を証明できることを意味します。PNCNCNCPPP 第一に、多対数深度回路の下限を証明するためのもっともらしいアプローチであるかもしれない他の方法または技術がありますか？ 第二に、理論コミュニティにとって次の声明はどれほど有用ですか？ ブール関数計算する回路のサイズは、少なくとも。ここで、は、ターゲット関数。lの値は、たとえば、不一致のような組み合わせ量、フィールド上の特定のタイプの行列のランクのような線形代数量、または以前は複雑性理論で使用されていなかったまったく新しい量です。F ：{ 0 、1 } のn → { 0 、1 } LのL F LNCNCNCf:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f\colon\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}llllllffflll

17 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds  dc.parallel-comp  gct 

今月のFischerの論文は、簡潔なデータ構造とそれらを使用するためのアルゴリズムの技術について、私がほとんど知らないことを思い出させてくれました。 簡潔なデータ構造がわからない場合： a（n）個の明確な構成と既知の「有用な」表現備えた組み合わせ構造が与えられます。約ビットの記憶域を取りながら、通常の表現できる限り高速に操作を実行できる「簡潔な」データ構造は ありますか？R （n ）R（n）R(n)lg（a （n ））lg⁡（a（n））\lg(a(n))RRR 誰もが議論を楽しませたい場合に私が興味を持っているトップのもの サフィックス配列。それらはすべての順列のサブセットです。 順序付けられた木。これらは、すべてのバイナリ「括弧」文字列のサブセットです（一致する多様性）。 紙（1）のように、最も近いすべての小さい値。両方の次元で圧縮できるだけではありません。一方向の許容される「より小さい値」配列は、リスト小さなサブセットであるため、ビット未満を格納する必要があります。{ 0 、。。。、n − 1 }n{0、。。。、n−1}n\{0,...,n-1\}^nnはLG（n）nlg⁡（n）n \lg(n)

17 ds.data-structures  lower-bounds 

入力ビットのANDとORを同時に計算するために必要な最小数のバイナリゲートは何ですか？自明な上限はです。これは最適だと思いますが、これをどうやって証明するのでしょうか？標準のゲート除去手法は、入力変数のいずれかに定数を割り当てることにより、出力の1つを単純化するため、ここでは機能しません。nnn2n−22n−22n-2 この問題は、Ingo Wegenerの著書「ブール関数の複雑さ」の演習5.12でも、わずかに異なる形式で示されてい。消去法では、サイズ下限のみを証明できます。より大きな下限を証明してください。」fn(x)=x1…xn∨x¯1…x¯nfn(x)=x1…xn∨x¯1…x¯nf_n(x) = x_1\dots x_n \lor \bar{x}_1 \dots \bar{x}_nn+Ω(1)n+Ω(1)n+\Omega(1)

16 cc.complexity-theory  lower-bounds  circuit-complexity 

私は最近、決定木モデルの問題の複雑さに関する2次の下限を発見し、この結果をランダムアクセスマシンモデルに部分的に一般化できるかどうか疑問に思います。することにより、部分的に、私は一定の時間/スペースのトレードオフでプログラムをRAMに一般化を意味します。たとえば、私の問題は線形時間およびスペースRAMプログラムでは解決できないことを示したいと思います。 AM Ben-AmramとZ. Galilは、この論文で、時間とスペースsで実行されるRAMプログラムがO （ttttsssポインタマシンの時間。決定木に適用できる同様の結果を知っていますか？O （tログs ）O（tログ⁡s）O(t \, \log s) あるいは、次数sの決定木を使用して、スペースで実行されているRAMプログラムをシミュレートすることは可能ですか？（直感的に、次数≤s のノードを使用して間接アドレス指定をシミュレートできます）ssssss≤ sの≤s\leq s

15 cc.complexity-theory  lower-bounds 

これはこの質問へのフォローアップであり、これに関連していますシヴァキナリの質問にます。 これらの論文の証明（Allender、Caussinus-McKenzie-Therien-Vollmer、Koiran-Perifel）は階層定理を使用しているようです。証明が「純粋な」対角化定理であるか、または通常の対角化以上のものを使用しているかどうかを知りたい。だから私の質問は パーマネントを均一な入れる合理的な相対化はありますか？T C0TC0\mathsf{TC^0} ユニフォーム oracleアクセスを定義する方法がわからないことに注意してください。小さな複雑度クラスの正しい定義を見つけるのは簡単ではないことを知っています。別の可能性は、相対化された宇宙のパーマネントが完全でないことです。その場合、相対化された宇宙の完全な問題を代わりに使用しは、合理化された相対化された宇宙では完全な問題を抱えているはずです。＃P ＃P ＃PT C0TC0\mathsf{TC^0}＃P＃P\mathsf{\#P}＃P＃P\mathsf{\#P}＃P＃P\mathsf{\#P}

15 cc.complexity-theory  lower-bounds  relativization  permanent 

回路の複雑さの中で、さまざまな回路モデルのパワーを分離しています。 証明の複雑さでは、さまざまな証明システムの能力を分離しています。 しかし、アルゴリズムでは、アルゴリズムのパラダイムの力の間の分離はまだわずかしかありません。 以下の私の質問は、貪欲と動的プログラミングという2つのパラダイムでこの後者の問題に触れることを目的としています。 要素の基本セットと、そのサブセットの一部のファミリが実行可能なソリューションとして宣言されています。このファミリは下向きに閉じていると仮定します。実行可能なソリューションのサブセットは実行可能です。地上要素への非負の重みの割り当てを考えると、問題は実行可能な解の最大合計重みを計算することです。 欲張りアルゴリズムは、空の部分解で始まり、各ステップで、可能な限り最大の未処理要素を追加します。つまり、拡張解がまだ実行可能な場合です。よく知られているRado-Edmondsの定理は、このアルゴリズムが実行可能な解のファミリーがマトロイドである場合、すべての入力の重みに対して最適な解を見つけると述べています。 大まかに言えば、DPアルゴリズムは、MaxおよびSum（またはMinおよびSum）操作のみを使用する場合、単純です。より具体的には（Joshuaが示唆するように）、単純なDPアルゴリズムによって、fann-2 MaxゲートとSumゲートを持つ（max、+）回路を意味します。入力は変数であり、その私私i番目は番目の要素に与えられた重みに対応します。このような回路は、実行可能なソリューションの最大総重量を計算するだけで、このような問題を解決できます。しかし、指数関数的に多くのそのようなソリューションがある場合、これは非常にやり過ぎになる可能性があります（ほとんどの場合そうです）。私私i 質問1： 単純なDPアルゴリズムで、対応する最大化問題を解決するために超多項式数の演算が必要なマトロイドはありますか？ コメント（2015年12月24日追加）：この質問は既に回答済みです（以下を参照）。圧倒的多数であっても、このようなマトロイドがあります。 次の質問では、近似問題のために貪欲なDPと単純なDPを分離するように求めています。で最大量のマッチング問題、実現可能な解決策の家族は完全な二部では、すべてのマッチングで構成さグラフ。エッジへの重みの指定された割り当ての目的は、マッチングの最大重みを計算することです（重みは負でないため、これは常に完全なマッチングになります）。 n × nn×nn\times n 単純な欲張りアルゴリズムは、要因2内でこの問題を近似できます。常に、最大重量のまだ表示されていないばらばらのエッジを取るだけです。得られた重量は、最適重量の少なくとも半分になります。 質問2： 単純なDPアルゴリズムは、多項式的に多くのMaxおよびSum演算のみを使用して、因子2内のMax-Weight Matching問題を近似できますか？ もちろん、エッジの最大重みの倍を出力する単純なDPアルゴリズムは、因子内でこの問題を近似します。しかし、はるかに小さい係数が必要です。係数を達成することはできないと思いが、繰り返しますが、これをどのように証明するのでしょうか？ nnnnnnn /ログnn/ログ⁡nn/\log n 関連：Max-Weight Matchingのいとこは、Assignment問題です。完全一致の最小重みを見つけます。この問題は、操作のみを使用する線形プログラミング（いわゆるハンガリー語アルゴリズム）によって（正確に）解決できます。しかし、パーマネント関数を計算するモノトーンブール回路のサイズのRazborovの下限は、任意の（！）有限要素内でこの問題を近似する（min、+）回路が操作。したがって、最小化問題の場合、単純なDPアルゴリズムは線形計画法よりもはるかに弱い可能性があります。上記の私の質問は、このようなDPアルゴリズムがGreedyよりもさらに弱いことを示すことを目的としています。 O （n3）O（n3）O(n^3)nΩ （ログn ）nΩ（ログ⁡n）n^{\Omega(\log n)} 誰かが同様の質問を誰かが検討しているのを見たことがありますか？ 追加（2015年12月24日）：質問2は、因子貪欲アルゴリズムで近似できる特定の最大化問題（Max-Weight Matching問題）を、単純なポリサイズでは近似できないことを示すことを目的としています。同じ係数 DP 。一方、私は貪欲と単純なDPの間の弱い分離を得ました：すべてのには、因子貪欲なアルゴリズムで近似できる明示的な最大化問題がありますが、ポリサイズの単純なDPアルゴリズムは、より小さい係数この問題を近似できます（こちらを参照）r = 2r=2r=2r = o （n / log n ）rrrrr = o （n / logn …

15 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds  dynamic-programming 

すべての単調な算術回路、つまり{+,×}{+,×}\{+,\times\} -circuitは、非負の整数係数を持ついくつかの多変量多項式F(x1,…,xn)F(x1,…,xn)F(x_1,\ldots,x_n)を計算します。多項式与えられる f(x1,…,xn)f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n)と、回路 計算する fffもしF(a)=f(a)F(a)=f(a)F(a)=f(a)すべてに対して成り立つ∈ N、N。 a∈Nna∈Nna\in \mathbb{N}^n カウント もしFは、（）= F （）すべてに対して成り立つ∈ { 0 、1 } N。 fffF(a)=f(a)F(a)=f(a)F(a)=f(a)a∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n 決定 場合F （）> 0正確F （）> 0がすべて当てはまる ∈ { 0 、1 } N。 fffF(a)>0F(a)>0F(a)>0f(a)>0f(a)>0f(a)>0a∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n 回路サイズのギャップ「計算/カウント」が指数関数的であることを示す明示的な多項式（多重線形であっても）を知っています。私の質問は、ギャップ「カウント/決定」に関するものです。fff 質問1：{ + 、× } -circuitsで決定するより指数関数的に計算が難しい多項式を知っている人はいますか？ fff{+,×}{+,×}\{+,\times\} 可能な候補として、変数が{ 1 、… 、n }上の完全なグラフエッジに対応し、各単項式がK nのノード1からノードnへの単純なパスに対応するPATH多項式を使用できます。この多項式は、たとえばベルマン・フォードの動的計画法アルゴリズムを実装するサイズO （n 3）の回路によって決定でき、{ + 、× }-回路計算がすべてであることを示すのは比較的簡単です。KnKnK_n{1,…,n}{1,…,n}\{1,\ldots,n\}111nnnKnKnK_nO(n3)O(n3)O(n^3){+,×}{+,×}\{+,\times\}PATHは大き持っている必要があります。 2Ω(n)2Ω(n)2^{\Omega(n)} …

15 circuit-complexity  lower-bounds  arithmetic-circuits  cc-complexity-theory 

バックグラウンド ゲートのセット（ベーシスとも呼ばれる）に対する1回限りの式は、各入力変数が1回現れる式です。読み取り1回の式は、一般に、De Morgan基底（2ビットゲートANDおよびOR、および1ビットゲートNOT）と完全なバイナリ基底（すべて2ビットゲート）で研究されます。 したがって、たとえば、2ビットのANDはどちらの基準でも1回限りの式として書き込むことができますが、2ビットのパリティはDe Morgan基準で1回だけの式として書き込むことはできません。 De Morgan基底上で1回限りの式として記述できるすべての関数のセットには、組み合わせの特性があります。たとえば、M。Karchmer、N。Linial、I。Newman、M。Saks、A。Wigdersonによる1回限りの式の組み合わせ特性化を参照してください。 質問 完全なバイナリベースで1回限りの式で計算できる関数セットの代替の特性はありますか？ 簡単な質問（v2で追加） 私はまだ元の質問への回答に興味がありますが、回答を受け取っていないので、簡単な質問をするつもりだと思いました：完全なバイナリベースで数式に有効ないくつかの下限技術は何ですか？（以下にリストしたもの以外） ここで、式のサイズ（=葉の数）の下限を設定しようとしていることに注意してください。読み取り1回の式の場合、式のサイズ=入力数です。したがって、関数が厳密にnより大きいサイズの式を必要とすることを証明できる場合、それは読み取り専用の式として表現できないことも意味します。 私は次のテクニックを知っています（ブール関数の複雑さからの各テクニックのリファレンス：Stasys JuknaによるAdvances and Frontiers）： Nechiporukの普遍関数の方法（セクション6.2）：特定の関数のサイズの下限を示します。これは、興味があるかもしれない特定の関数の下限を見つけるのに役立ちません。n2 − o （1 ）n2−o（1）n^{2-o(1)} サブ関数を使用したネチポルクの定理（Sec 6.5）：これは、関心のある関数の下限を提供するという意味で、適切な下限手法です。たとえば、要素の明瞭性関数のサイズはです。（そして、これはテクニックが証明できる最大の下限であり、あらゆる関数に対してです。）Ω （n2/ログn ）Ω（n2/ログ⁡n）\Omega(n^2/\log n)

15 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds  formulas 

言語の（一般化された）星の高さは、拡張正規表現によって言語を表すために必要なKleene星の最小のネストです。有限アルファベット拡張正規表現は次の条件を満たすことを思い出してください。AAA （1）とすべてのための正規表現に拡張さ∈ Aを∅ 、1∅、1\emptyset, 1aaa∈ Aa∈Aa\in A （2）すべての拡張正規表現。E ∪ F、E 、F、E *およびE cが正規表現を拡張していますE、FE、FE,F E∪ FE∪FE\cup FEFEFEFE∗E∗E^*EcEcE^c 一般化された星の高さの問題の言い回しは、最小化された一般化された星の高さを計算するアルゴリズムがあるかどうかです。この問題に関して、いくつか質問があります。 この問題に関して最近の進展（または研究関心）はありましたか？私は何年も前に、Pin StraubingとThérienがこの分野でいくつかの論文を発表したことを知っています。 星の高さの制限の問題は、1988年に橋口によって解決されましたが、一般的なバージョン（私の知る限り）はまだ開いています。なぜこれが当てはまるのか、誰にも直観がありますか？ 役立つリンクは次のとおりです。starheight

15 fl.formal-languages  lower-bounds  regular-expressions 

kkk番目の初等対称多項式Snk(x1,…,xn)Skn(x1,…,xn)S_k^n(x_1,\ldots,x_n)全ての合計であるの製品の異なる変数。この多項式の単調な算術回路の複雑さに興味があります。単純な動的プログラミングアルゴリズム（および以下の図1）は、ゲートを持つ回路を提供します。 k（+、×）（+、×）O（kn）(nk)(nk)\binom{n}{k}kkk(+,×)(+,×)(+,\times)(+,×)(+,×)(+,\times)O(kn)O(kn)O(kn) 質問： 下限は わかっていますか？ Ω(kn)Ω(kn)\Omega(kn) A回路であり、スキュー各積ゲートの2つの入力のうちの少なくとも一方が可変である場合。このような回路は、実際にはスイッチングと整流ネットワーク（変数でラベル付けされたエッジを持つ有向非巡回グラフです。各stパスはそのラベルの積を示し、出力はすべてのstパスの合計です）。すでに40年前、マルコフは驚くほどタイトな結果を証明しました最小単調算術スキュー回路には、正確に積ゲートがあります。アッパー。結合は、図1から次の (+,×)(+,×)(+,\times)SnkSknS_k^n k(n−k+1)k(n−k+1)k(n-k+1) しかし、スキューのない回線のこのような下限を証明する試みは見ていません。これは単なる私たちの「ar慢」なのでしょうか、それとも道に沿っていくつかの固有の困難が見られますか？ PS すべてのを同時に計算するには、ゲートが必要であることを知ってい。これは、0-1入力をソートするモノトーンブール回路のサイズの下限から始まります。Ingo Wegenerの本の 158ページを参照してください。また、AKSソートネットワークは、この（ブール型）ケースではゲートで十分であることを意味し。実際、バウアーとストラッセンは、の非単調な演算回路のサイズについて、厳密な境界を証明しました。しかし、単調な算術回路はどうでしょうか？S n 1、… 、S n nΩ(nlogn)Ω(nlog⁡n)\Omega(n\log n)Sn1,…,SnnS1n,…,SnnS_1^n,\ldots,S_n^nO （n ログn ）O(nlog⁡n)O(n\log n)Θ （n logn ）Θ(nlog⁡n)\Theta(n\log n)Snn / 2Sn/2nS_{n/2}^n

14 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds  arithmetic-circuits  dynamic-programming 

Razborovは、単調関数マッチングがmPにないことを証明しました。しかし、いくつかの否定を持つ多項式サイズの回路を使用してマッチングを計算できますか？マッチングを計算するO （nϵ）O(nϵ)O(n^\epsilon)否定を持つP / poly回路はありますか？否定の数とマッチングのサイズの間のトレードオフは何ですか？

14 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds  matching  monotone 

最悪の場合にn + 1ビットを送信せずにビット入力の不一致問題（DISJ）を解決できる決定論的な2者間プロトコルはないことはよく知られています（KushilevitzとNisanの本を参照）。境界エラーがプロトコルをランダム化するために、以下の結合δ nが、いくつかの定数をδ、またRazborov [Razborov92]で精論文に示されています。私の質問は：nnnn + 1n+1n+1δnδn\delta nδδ\delta 現在、最もよく知られている明示的な値は何ですか（上限と下限の両方）？δδ\delta また、実際の値に何らかの信念はありますか？δδ\delta [Razborov92] Alexander A. Razborov：ばらばらの分布の複雑さについて。理論。計算します。科学 106（2）：385-390（1992）doi：10.1016 / 0304-3975（92）90260-M

14 lower-bounds  communication-complexity 

組み合わせ表現理論と代数幾何学には、正の公式が知られていない多くの問題があります。私が考えているいくつかの例がありますが、私の例としてクロネッカー係数の計算を取り上げます。通常、「正の式」の概念は組み合わせ論では正確に定義されていませんが、「合理的に明示的なセットのカーディナリティーとしての記述」を大まかに意味します。最近、私はJonah Blasiakと話をしていますが、彼は「正の式」の正しい定義は#Pであると私に納得させています。このサイトでは、＃Pを定義する必要はないと想定します。 BuergisserとIkenmeyerは、クロネッカー係数が#Pハードであることを示しています。（それらはテンソル積の多重度であるため、常にポジティブです。）しかし、それらを計算する方法を誰も知らないので、それらを#Pに入れることさえ合理的に確信しています。 したがって、クロネッカー係数が#Pにないことを実際に証明しようとするとします。私がやることは、複雑な理論的推測を仮定し、Kronecker積を#Pより大きいクラスで完全であることが知られている他の問題に還元することだと思います。 どのような推測を想定し、どのような問題を軽減しようとしますか？ 追加：コメントで指摘されているように、BuergisserとIkenmeyerは、クロネッカー係数が#Pにかなり近いGap-Pにあることを示しています。だから、私が尋ねるべき質問は次のように聞こえます：（1）もっともらしいG-P-complete問題は何ですか？（2）Gap-Pが#Pではないことを示す見込みは何ですか？私は（2）は2つの部分に分かれるべきだと思います（2a）専門家はこれらのクラスが異なると信じていますか？（2b）それを証明する可能性のある戦略はありますか？ 質問のこのような編集が眉をひそめないことを願っています。

14 cc.complexity-theory  counting-complexity  lower-bounds