数えにくいが決定しやすい多項式

すべての単調な算術回路、つまり $\{+,\times\}$ -circuitは、非負の整数係数を持ついくつかの多変量多項式 $F(x_1,\ldots,x_n)$ を計算します。多項式与えられる $f(x_1,\ldots,x_n)$ と、回路

計算する $f$ もし $F(a)=f(a)$ すべてに対して成り立つ。 $a\in \mathbb{N}^n$
カウント もしすべてに対して成り立つ。 $f$ $F(a)=f(a)$ $a\in\{0,1\}^n$
決定場合正確すべて当てはまる。 $f$ $F(a)>0$ $f(a)>0$ $a\in\{0,1\}^n$

回路サイズのギャップ「計算/カウント」が指数関数的であることを示す明示的な多項式（多重線形であっても）を知っています。私の質問は、ギャップ「カウント/決定」に関するものです。 $f$

質問1： -circuitsで決定するより指数関数的に計算が難しい多項式を知っている人はいますか？ $f$ $\{+,\times\}$

可能な候補として、変数が上の完全なグラフエッジに対応し、各単項式がノードからノードへの単純なパスに対応するPATH多項式を使用できます。この多項式は、たとえばベルマン・フォードの動的計画法アルゴリズムを実装するサイズ回路によって決定でき回路計算がすべてであることを示すのは比較的簡単です。 $K_n$ $\{1,\ldots,n\}$ $1$ $n$ $K_n$ $O(n^3)$ $\{+,\times\}$ PATHは大き持っている必要があります。 $2^{\Omega(n)}$

一方、すべての回路のカウント PATHが解決経路問題を、すなわち、多数のカウント -to- 対応で指定のパス - の入力サブグラフ。これは、いわゆるです P -complete問題。そのため、私たちは皆、PATHが多項式サイズの - カウント回路を持つことはできないと信じています。「唯一の」問題はこれを証明することです... $\#$ $1$ $n$ $0$ $1$ $K_n$ $\#$ $\{+,\times\}$

関連するハミルトニアン経路多項式HPをカウントするすべての回路が指数サイズを必要とすることを示すことができます。この多項式の単項式は、すべてのノードを含む - パスに対応します。残念ながら、還元のにHP ヴァリアントによってPATHは、Vandermonde行列の逆行列を計算するために必要とし、従ってによって実現することができない -circuit。 $\{+,\times\}$ $1$ $n$ $K_n$ $\#$ $\#$ $\{+,\times\}$

質問2：誰が見ていモノトーンの削減にHPを PATH？ $\#$ $\#$

そして最後に：

質問3：クラスの「モノトーン版」た P全く考慮？ $\#$

注：私は非常に制限されたクラスの回路について話していることに注意してください：単調な算術回路！クラスでは超えない下限は、より大きな：-circuits、質問1は全く依頼するだけ不公平であろうこのような回路のために、すべての上に与えられた多項式を計算するために必要な場合であっても入力は既知です。また、このような回路のクラス、質問1の「構造的類似体」に-ある P -complete多項式ポリサイズによって決定することができます $\{+,-,\times\}$ $\Omega(n\log n)$ $\mathbb{R}^n$ $\#$ サーキット？-肯定的な答えがあります。ようなものである、例えば、永久的な多項式PER。 $\{+,-,\times\}$ $=\sum_{h\in S_n}\prod_{i=1}^n x_{i,h(i)}$

追加： 伊藤剛は質問1に非常に簡単なトリックで答えた。それでも、質問2と3は未解決のままです。PATHのカウントステータスは、それが標準のDP問題であり、＃P-completeであるため、それ自体興味深いものです。

— スタシス
ソース

質問1については、数えにくい多項式に1を追加するのはどうですか？

— 伊藤剛14

あなたの3つの質問は、3つの別個の質問であるほど十分に明確に見える。

— デビッドリチャービー14年

算術回路の定数を単に禁止するだけでは些細な例を避けることはできないと思います。原点で0を取るカウント困難な多項式にx_1 +…+ x_nを追加するのはどうですか？（さらに、定数を禁止する場合、原点でゼロ以外の値をとる多項式を表すことはできません。）

— 伊藤剛14

「「#P理論」のように、「決定」の下では「少なくとも1つの解決策がある」という意味です。そして、定数は解決策ではありません（通常）。あなたはここで滑りやすい斜面にいます。質問1に対応する#Pを考えてみましょう。＃Rが＃P-completeになるような関係R∈FNPの例を示しますが、＃R（x）> 0かどうかは簡単に判断できます。マッチングと言いたくなるかもしれませんが、これはやり過ぎです。3SATに些細な解決策を追加するだけで問題なく機能し、以前のコメントはこれに似ています。（詳細）

— 伊藤剛14

@伊藤剛：まあ、あなたの簡単なトリック（すべての変数の合計を困難な多項式に追加）は実際に質問1に答えます（それが述べられた形で）。答えとしていただけますか？

— Stasys 14年

（OPの要求に対する回答として、コメントを投稿しています。）

質問1については、f _n：{0,1} ⁿ →ℕを、算術回路が指数サイズを必要とする関数のファミリーとします。そうすると、f _n +1も同様になりますが、f _n +1は簡単な単調演算回路で簡単に決定できます。単調な算術回路の定数を避けたい場合は、f _nを {0,1} ⁿ →ℕとし、f _nの算術回路が指数サイズとf _n（0、…、0）を必要とする関数のファミリーとする= 0で、f _n + x ₁ +…+ x _nを考慮します。

— 伊藤剛
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