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しきい値ゲートが1つしかない算術回路
制限するとき000 - 111入力、すべての{+,×}{+,×}\{+,\times\} -circuit F(x1,…,xn)F(x1,…,xn)F(x_1,\ldots,x_n)ある関数計算F:{0,1}n→NF:{0,1}n→NF:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}。ブール関数を取得するには、出力ゲートとして1つのfanin-1しきい値ゲートを追加するだけです。入力上のa∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n、得られた閾値 {+,×}{+,×}\{+,\times\} -回路は、次に出力111であればF(a)≥tF(a)≥tF(a)\geq t、及び出力000であればF(a)≤t−1F(a)≤t−1F(a)\leq t-1。しきい値t=tnt=tnt=t_nは任意の正の整数にすることができ、これは入力値ではなく依存する場合nnnがあります。得られた回路は、いくつかの(単調)を計算ブール関数 F′:{0,1}n→{0,1}F′:{0,1}n→{0,1}F':\{0,1\}^n\to \{0,1\}。 質問:しきい値{+,×}{+,×}\{+,\times\} -circuitsは{∨,∧}{∨,∧}\{\lor,\land\} -circuits によって効率的にシミュレート できますか? 「効率的に」とは、「最大で多項式サイズの増加を伴う」ことを意味します。答えは、しきい値のために「はい」と明らかであるt=1t=1t=1:ちょうど置き換える+++によって∨∨\lor、××\timesで∧∧\land、そして最後のしきい値ゲートを削除します。つまり、{∨,∧}{∨,∧}\{\lor,\land\}回路は実際にはしきい値111 {+,×}{+,×}\{+,\times\}回路です。しかし、より大きなしきい値、たとえばt=2t=2t=2どうでしょうか? 一つは、算術類似定義することができる#C#C\#C最もブール回路のクラスCCC単に使用することによって+++ 、代わりにOR ××\times代わりにAND、及び1−xi1−xi1-x_i代わりにx¯ix¯i\bar{x}_i。たとえば、#AC0#AC0\#AC^0回路は{+,×}{+,×}\{+,\times\} -無限のファンイン+++および××\timesゲートを持つ一定の深さの回路であり、入力xixix_iおよび1−xi1−xi1-x_iです。 アグラワル、Allenderとダッタは、示されたその閾値#AC0#AC0\#AC^0 = TC0TC0TC^0。(AC0AC0AC^0自体はT C 0の適切なサブセットであることを思い出してください。たとえば、マジョリティ関数を使用してください。)つまり、一定の深さのしきい値回路は、一定の深さ{ + 、- 、× } -単一のしきい値ゲートを備えた回路!ただし、私の質問は約あることを単調回路(ノーマイナス「-」ゲートとして、さらにはありません1 -TC0TC0TC^0{+,−,×}{+,−,×}\{+,-,\times\}−−-1−xi1−xi1-x_i入力として x i)。その場合も、1つの(最後の)しきい値ゲートを非常に強力にすることができますか?私はこのことを知らないので、関連するポインタは大歓迎です。 NBはまだ別の興味深い関連ある結果 によるアーノルドRosenbloomに:一つだけで-circuits 単調関数G :N 2 → { 0 、1 }を持つすべてのスライス関数を計算することができ、出力ゲートとしてO (N )ゲート。スライス機能は、いくつかの固定のために、単調ブール関数であるKを出力、0(それぞれ1未満(それぞれ、複数)を有する全ての入力に)K{+,×}{+,×}\{+,\times\}g:N2→{0,1}g:N2→{0,1}g:\mathbb{N}^2\to\{0,1\}O(n)O(n)O(n)kkk000111kkkもの。一方、簡単なカウントは、ほとんどのスライス関数が一般的な -指数サイズの回路を必要とすることを示しています。したがって、1つの「罪のない」追加出力ゲートは、単調な回路を全能にすることができます!私の質問は、このときにも起こることができるかどうかを尋ねるG :N …

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数えにくいが決定しやすい多項式
すべての単調な算術回路、つまり{+,×}{+,×}\{+,\times\} -circuitは、非負の整数係数を持ついくつかの多変量多項式F(x1,…,xn)F(x1,…,xn)F(x_1,\ldots,x_n)を計算します。多項式与えられる f(x1,…,xn)f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n)と、回路 計算する fffもしF(a)=f(a)F(a)=f(a)F(a)=f(a)すべてに対して成り立つ∈ N、N。 a∈Nna∈Nna\in \mathbb{N}^n カウント もしFは、()= F ()すべてに対して成り立つ∈ { 0 、1 } N。 fffF(a)=f(a)F(a)=f(a)F(a)=f(a)a∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n 決定 場合F ()> 0正確F ()> 0がすべて当てはまる ∈ { 0 、1 } N。 fffF(a)>0F(a)>0F(a)>0f(a)>0f(a)>0f(a)>0a∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n 回路サイズのギャップ「計算/カウント」が指数関数的であることを示す明示的な多項式(多重線形であっても)を知っています。私の質問は、ギャップ「カウント/決定」に関するものです。fff 質問1:{ + 、× } -circuitsで決定するより指数関数的に計算が難しい多項式を知っている人はいますか? fff{+,×}{+,×}\{+,\times\} 可能な候補として、変数が{ 1 、… 、n }上の完全なグラフエッジに対応し、各単項式がK nのノード1からノードnへの単純なパスに対応するPATH多項式を使用できます。この多項式は、たとえばベルマン・フォードの動的計画法アルゴリズムを実装するサイズO (n 3)の回路によって決定でき、{ + 、× }-回路計算がすべてであることを示すのは比較的簡単です。KnKnK_n{1,…,n}{1,…,n}\{1,\ldots,n\}111nnnKnKnK_nO(n3)O(n3)O(n^3){+,×}{+,×}\{+,\times\}PATHは大き持っている必要があります。 2Ω(n)2Ω(n)2^{\Omega(n)} …
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