基本対称多項式の単調な算術回路の複雑さ？

$k$ 番目の初等対称多項式 $S_k^n(x_1,\ldots,x_n)$ 全ての合計であるの製品の異なる変数。この多項式の単調な算術回路の複雑さに興味があります。単純な動的プログラミングアルゴリズム（および以下の図1）は、ゲートを持つ回路を提供します。 $\binom{n}{k}$ $k$ $(+,\times)$ $(+,\times)$ $O(kn)$

質問： 下限はわかっていますか？ $\Omega(kn)$

A回路であり、スキュー各積ゲートの2つの入力のうちの少なくとも一方が可変である場合。このような回路は、実際にはスイッチングと整流ネットワーク（変数でラベル付けされたエッジを持つ有向非巡回グラフです。各stパスはそのラベルの積を示し、出力はすべてのstパスの合計です）。すでに40年前、マルコフは驚くほどタイトな結果を証明しました最小単調算術スキュー回路には、正確に積ゲートがあります。アッパー。結合は、図1から次の $(+,\times)$ $S_k^n$ $k(n-k+1)$

しかし、スキューのない回線のこのような下限を証明する試みは見ていません。これは単なる私たちの「ar慢」なのでしょうか、それとも道に沿っていくつかの固有の困難が見られますか？

PS すべてのを同時に計算するには、ゲートが必要であることを知ってい。これは、0-1入力をソートするモノトーンブール回路のサイズの下限から始まります。Ingo Wegenerの本の 158ページを参照してください。また、AKSソートネットワークは、この（ブール型）ケースではゲートで十分であることを意味し。実際、バウアーとストラッセンは、の非単調な演算回路のサイズについて、厳密な境界を証明しました。しかし、単調な算術回路はどうでしょうか？ $\Omega(n\log n)$ $S_1^n,\ldots,S_n^n$ $O(n\log n)$ $\Theta(n\log n)$ $S_{n/2}^n$

— スタシス
ソース

1つの課題は、あなたが「モノトーン」制限を削除した場合、我々はということであるか、効率的なものを計算する方法を知っています。FFTベースの多項式乗算を使用して、時間ですべてのの値を計算できます（すべての基本対称多項式を評価し。そのため、単調回路モデルで下限を証明するには、多項式乗算で下限を証明する必要があります。 $S_0^n,\dots,S_n^n$ $n+1$ $O(n \log^2 n)$ $\Omega(nk)$ $\Omega(n^2)$

方法は次のとおりです。正式な未知の導入し、多項式を検討します $y$

P (y) = \prod_{i = 1}^{n} (1 + x_{i} y) .

$P(y) = \prod_{i=1}^n (1 + x_i y).$

は既知の定数であるため、これは未知のと次数単変量多項式であることに注意してください。今、あなたは係数ことに注意することができ中に正確である、そのすべてを評価する、それが計算するのに充分で。 $x_i$ $y$ $n$ $y^k$ $P(y)$ $S_k^n$ $S_0^n,\dots,S_n^n$ $P(y)$

これにより、時間でを計算できるようになります。葉にをもつ多項式のバランスの取れた二分木を構築し、多項式を乗算します。次数 2つの多項式を乗算すると、FFT手法を使用して時間かかるため、再帰、。便宜上、要因は無視してい。 $P(y)$ $O(n \lg^2 n)$ $(1+x_i y)$ $d$ $O(d \lg d)$ $T(n) = 2 T(n/2) + O(n \lg n)$ $T(n) = O(n \lg^2 n)$ $\text{poly}(\lg \lg n)$

が非常に小さい場合は、同様のトリックを使用して時間でを計算できます（つまり、または高次のすべての項をます）。 $k$ $S_0^n,\dots,S_k^n$ $O(n \lg^2 k)$ $P(x) \bmod y^{k+1}$ $y^{k+1}$ $y$

もちろん、FFTは減算を使用しているため、単純に単調な回路では表現できません。多項式を単調算術回路で効率的に乗算する他の方法があるかどうかはわかりませんが、多項式乗算のための効率的な単調法はすぐに問題のアルゴリズムにもつながります。したがって、問題の下限には、多項式の乗算の下限が必要です。

— DW
ソース

DW、この構造を思い出してくれてありがとう！通常、Ben-Orに起因するものであり、言及する必要がありました。構造は、サイズおよび深さのみ（！）の<i>式</ i>も提供し、演算子計算します（をポイント）。これは、同種および非同種の小深度式を分離するために使用されました。しかし、あなたが言及するように、構造は実質的に減算を使用します。だから、私の質問は尋ねる：この使用が実際に「実質的」であるか？これは、深さ制限のシナリオでも興味深い場合があります。

O (n^{2})

$O(n^2)$

3

$3$

S_{0}^{n}, \dots, S_{n}^{n}

$S_0^n,\ldots,S_n^n$

P (y)

$P(y)$

n + 1

$n+1$

— Stasys

@Stasys：減算は非常に重要だと思います。Viz。Nisan-Wigdersonの深さ3の同次回路の下限; 均一な深さ3の回路では、ポイントは、次数が出力の次数と異なる項を計算することは役に立たないということです。そのため、発生するキャンセルの種類が制限されます。一方、Ben-Or構造では、を計算するには、次数多項式を計算する必要があります（出力の次数が）。次に、キャンセルを使用して、次数項を取り除く必要があります。これは証拠、単にいくつかの直感...ではありません

S_{k}^{n}

$S_k^n$

n

$n$

k < n

$k < n$

> k

$> k$

— ジョシュアGrochow

@Joshua：はい、多項式の変数係数が正確に多項式であることを知っています。これらの係数を抽出する-しかし、我々は、ガウス（減算など）が必要との値上の異なる点。私の質問は、この場合、「単調な単語」に実際にガウスがないかどうかを尋ねます。（推測された答え-NO。）このためには、度項を取り除くだけで十分かどうかわかりません。これらの最初の係数を見つける必要があります。

y

$y$

P (y, x)

$P(y,x)$

S_{k}^{n} (x)

$S_k^n(x)$

n + 1

$n+1$

P (y)

$P(y)$

n + 1

$n+1$

> k

$> k$

k

$k$

— Stasys