ガウスの複雑さの下限

n × n行列のガウス複雑度を、行列を上三角形式にするために必要な基本的な行と列の操作の最小数になるように定義します。これは、0からn 2までの量です（ガウス消去法を使用）。この概念はあらゆる分野で意味をなします。$n \times n$$0$$n^2$

この問題は確かに非常に基本的なものであり、研究されたに違いありません。驚いたことに、私は参考文献を知りません。だから、私はそこにある参考文献に満足しています。しかし、もちろん、主な質問は次のとおりです。

明らかな明確な下限はありますか？

自明ではないことにより、超線形を意味します。明確にするために：有限体上で、カウント引数は、ランダム行列の複雑度がn ^ 2であることを示します（同様の主張は無限体でも当てはまります）。したがって、私たちが探しているのは、行列の明示的なファミリ、たとえば、Hadmard行列です。これは、ランダム関数の複雑度が高いことを知っているブール回路の複雑度と同じですが、このプロパティを持つ明示的な関数を探しています。

これは、より広く研究されている問題に関連する、非常に難しい問題のようです。

正方の可逆行列Aを考え、Aを単位行列に還元するために必要な基本行操作の最小数としてc（A）を定義するとします。この複雑さの尺度は、Moritzが示唆するものよりも大きいため、そのための超線形境界の証明は簡単になります。

現在、行操作は可逆です。したがって、c（A）は、単位行列から開始して、A を生成するために必要な行操作の最小数として同等に定義できます。

このような方法でAを生成すると、xからAxをとるマップを計算する算術回路が生成されることに注意してください。各ゲートのファンインは2で、非入力ゲートの数は行操作の数に対応します。

逆方向（回路から行操作シーケンスへ）の明らかな減少はありません。それでも、制限された回路モデルのAxの計算回路の複雑さの観点からc（A）を特徴付けることができます：c（A）は、Aの計算回路の最小エッジの半分に等しいと主張します。ファニンは最大で2、幅 nです。ファニン1のゲートにつながるエッジは充電しません（ここでは通常の回路幅の概念を使用しています）。これは、前にスケッチした簡単なアイデアを使用して表示できます。

これがよく研究された問題への接続です：ファニン2回路の超線形数のゲートを必要とする明示的な線形マップAx（有限フィールド上）を示すことは30年以上にわたって有名な未解決の問題です。古典的な参考文献はValiant、「低レベルの複雑さにおけるグラフ理論的議論」であり、Lokamによる最近のFTTCS調査も役立ちます。

c（A）の学習では、追加の幅制限を課していますが、制限が非常に弱い（幅n）ので、この問題がもっと簡単になるとは思いません。しかし、ちょっと-私は間違っていると証明されたいです。

参照があり、それらはかなり古いです。ブール行列乗算の組み合わせアルゴリズムの作業中にそれらに出会いました。

$\Theta(n^2/log n)$$\log n$

JWムーンとL.モーザー。マトリックス削減問題。計算の数学20（94）：328–330、1966。

記事はJSTORでアクセスできる必要があります。

下限は単なるカウント引数であり、下限を達成する明示的な行列は与えられていないと確信しています。