タグ付けされた質問 「lower-bounds」

関数の下限、通常はアルゴリズムの複雑さまたは問題に関する質問

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特定の有限言語のCFGのサイズの下限
次の自然の質問を考えてみましょう：有限言語を考えると、最小の文脈自由文法生成するものである？LLLLLL 言語のシーケンス指定することにより、質問をより面白くすることができます。たとえば、はのすべての順列のセットです CFG は、サイズ。したがって、言語の最小CFGの漸近サイズに興味があります。LnLnL_nLnLnL_n{ 1 、… 、n }{1、…、n}\{1,\ldots,n\}LnLnL_nΩ （n ！）Ω（n！）\Omega(n!) 同様の質問がいくつかの論文で扱われています。 チャリカーら。（「最小文法の近似：自然モデルにおけるコルモゴロフの複雑さ」）与えられた単語を生成する最小CFGのサイズを近似することがどれほど難しいかを考えてください。 その方向でのさらなる作業は、Arpe and Reischuk、「最適な文法ベースの圧縮の複雑さについて」です。 Peter Asveldには、この主題に関するいくつかの論文があります（「Chomsky標準形の文脈自由文法によるすべての順列の生成」）。彼は、すべての順列のセット、特にチョムスキーとグレイバッハの正規形を生成する特定の種類の文法のパラメーターを最適化しようとしています。 ただし、これまでのところ、生成するCFGのサイズに関する限界を証明しようとする論文を見つけることができませんでした。Ω （n ！）Ω（n！）\Omega(n!)LnLnL_n 特定の有限言語の文脈自由文法のサイズの下限を提供する論文はありますか？ このサイトとmath.stackexchangeに関するいくつかの質問に答えて、特定の言語（たとえば CFGの指数関数的な下限を証明できる簡単な方法を思い付きました。これらの結果は新しいものですか？私はそれを信じるのが難しいと思います、そして、私はどんな文学の指針を得てもうれしいです。LnLnL_n
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データ構造の下限
「あまりにも良い」データ構造の存在を除外する結果が知られていますか？ たとえば、注文メンテナンスデータ構造におよび機能を追加し（DietzおよびSleator STOC '87を参照）、時間操作を取得できますか？Sp l i tSpl私tSplitJO I NJo私nJoinO（1）O（1）\mathcal{O}(1) または：整数キーと時間操作を使用して順序付きセットを実装できますか？もちろん、これは少なくとも整数をソートするための線形時間アルゴリズムを発見するのと同じくらい難しいです。O（1）O（1）\mathcal{O}(1) これらの質問のどちらに対しても答えはノーであることが証明されていますか？自然なデータ構造の下限の結果はわかっていますか？
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#SATの下限？
問題#SATは、標準的な＃P-complete問題です。これは、決定の問題ではなく、機能の問題です。命題論理のブール式が与えられると、満足な代入がいくつあるかを尋ねます。#SATの最適な下限はどれですか？FFFFFF
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下限を取得するためにランダムな制限を使用することは可能
ランダムな制限とスイッチング補題に基づいて、いくつかの有名なA C0AC0\mathsf{AC^0}回路サイズの下限結果があります。 T C0TC0\mathsf{TC^0}回路の下限を証明するために、スイッチング補題の結果を開発できますか（下限証明と同様A C0AC0\mathsf{AC^0}）。 または証明するため、このアプローチ使用する任意の固有の障害物が存在する低境界は？T C0TC0\mathsf{TC^0} Natural Proofsのようなバリアの結果は、下限を証明するためのテクニックのようなスイッチング補題の使用に関して何かを述べていますか？T C0TC0\mathsf{TC^0}
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Ω（n lg n）の一意性/区別性の最悪の場合の簡単な証明？
（代数計算ツリーまたは敵対的引数に基づく）要素の一意性/識別性問題の対数線形下限にはいくつかの証明がありますが、アルゴリズム分析と設計の最初のコースで使用するのに十分簡単なものを探しています。ソートの下限と同じ「難易度」でも問題ありません。また、任意のアプローチ（例えば、組み合わせまたは情報理論に基づく）でも問題ありません。助言がありますか？
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グリッドのセパレータの下限への参照？
これは整数点のD次元グリッド与えていることを確認することは容易である、正規隣接して、一つのサイズのセパレータを見つけることができるN D - 1（ただの中間超平面を選択し、そしてすべて削除をその頂点）。また、セパレータのサイズがΩ （n d − 1）でなければならないことを確認することは、それほど難しくありません（ただし、すぐにではありません）。誰もこれに対する防御を知っていますか？{ 1 、… 、n }d{1、…、n}d\{1,\ldots,n\}^dnd− 1nd−1n^{d-1}Ω（nd− 1）Ω（nd−1）\Omega(n^{d-1})
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Oracle Turingマシンの停止問題に関する情報の圧縮
停止の問題は計算できないことがよく知られています。ただし、停止している問題に関する情報を指数関数的に「圧縮」することが可能であるため、それを解凍することは計算可能です。 より正確には、チューリングマシンの記述とnビットのアドバイスステートから、アドバイスステートが信頼できると仮定して、2 n − 1 個のチューリングマシンすべての停止問題に対する答えを計算することができます。アドバイザーにビットを選択させて、チューリングマシンの数をバイナリで停止させ、その数が停止するまで待ち、残りが停止しないことを出力させます。2n−12n−12^{n}-1nnn2n−12n−12^{n}-1 この引数は、Chaitinの定数を使用して停止問題を解決できるという証拠の単純な変形です。私が驚いたのは、シャープだということです。チューリングマシンの記述から計算可能なマップはありません。nビットのアドバイスは、チューリングマシンの各タプルに対して、ビットのタプルに対して正しい答えを得る2 nビットの停止出力を示します。もしあれば、2 n個のチューリングマシンのそれぞれが、nビットの2 n個の可能な配置の1つでプログラムが何をするかをシミュレートし、予測に違反する独自の停止状態を選択することにより、対角化によって反例を生成できます。2n2n2^nnnn2n2n2^n2n2n2^n2n2n2^nnnn オラクルが停止しているチューリングマシンの停止問題に関する情報をまったく圧縮することはできません（何らかのオラクルにアクセスすることなく）。マシンは、すべての可能な入力で予測したものをシミュレートし、停止しない入力を無視し、停止時間を選択して、入力で予測しなかった辞書式の最初の回答を与えます。 これは私に他の神託のために何が起こるかについて考えるように動機づけました： オラクルを使用したチューリングマシンの停止問題を線形と指数の間の中間の成長率で圧縮できるオラクルの例はありますか？ より正式には、オラクルが与えられた場合、最大mとし、次の計算可能な部分関数が存在するようにします。f(n)f(n)f(n)mmm機械とチューリングオラクルのnビットを m個のそれぞれについてように、ビットは、 m個のオラクルチューリングマシンのタプル、あります N個のその入力に基づいて評価関数の値に等しいビットのタプル、 m個のタプル 1停止し、その各Oracleチューリングマシンのを 0各Oracle用の永久実行するマシンをチューリング。mmmnnnmmmmmmnnnmmm111000 オラクルはありますか？ω （n ）= f （n ）= o （2 n）のオラクルはありますか？n&lt;f(n)&lt;2n−1n&lt;f(n)&lt;2n−1n<f(n)<2^{n}-1ω(n)=f(n)=o(2n)ω(n)=f(n)=o(2n)\omega(n)=f(n)=o(2^n)
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算術回路はブール値よりも弱いですか？
LET （非単調）演算の意味最小サイズ（+ 、× 、- ）指定された多重線形多項式演算回路 F （X 1、... 、xはN）= Σ E ∈ E C 、E 、N Π I = 1 x e i iA(f)A(f)A(f)(+,×,−)(+,×,−)(+,\times,-) および B （F ）示す（非単調）ブール値の最小サイズ（∨ 、∧ 、¬ ）演算回路ブールバージョン F Bの Fによって定義される： F B（X 1、... 、xはN）= ⋁ E ∈ E ⋀ I ：E I ≠ 0のx If(x1,…,xn)=∑e∈Ece∏i=1nxeii,f(x1,…,xn)=∑e∈Ece∏i=1nxiei, f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{e\in …
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L / P / PSpace vs P / NP
1979年、Hopcroft / Ullmanは、L⊆P⊆NP⊆PSpaceは知られているが、L⊊PSpaceが知られている唯一の適切な（そして些細な）封じ込めであると書いたが、すべてが適切な封じ込めであると推測される。 それ以来、L⊊P、P⊊PSpace、P⊊NPの間に既知の接続がありますか？それらはすべて独立していると考えられていますか、それとも相互依存の兆候がありますか？ 動機：この質問は、SETHをO（n 2）編集距離に結び付ける最近のBackurs-Indykの結果に一部影響を受けています。SETHは指数時間で、編集距離はPTimeです。（また、上限を証明することで下限を証明する問題も多少あります）
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2-CNFまたは2-SATで表現可能なプロパティ
特定のプロパティが2-CNF（2-SAT）で表現できないことをどのように示しますか？小石ゲームなどのゲームはありますか？古典的な黒の小石ゲームと黒と白の小石ゲームはこれには適さないようです（HertelとPitassi、SIAM J of Computing、2010によると、これらはPSPACE完全です）。 またはゲーム以外のテクニックはありますか？ 編集：未知の述語（有限モデル理論家が言うように、SO述語）のカウント（またはカーディナリティ）を含むプロパティを考えていました。たとえば、クリークまたは重みのないマッチングのように。（）クリーク：クリークあり所与のグラフのGように| C | ≥与えられた数K？（b）はマッチング：一致ありMにおけるGは、そのようなこと| M | ≥ K？CCCGGG|C|≥|C|≥|C| \geKKK ~MMMGGG|M|≥K|M|≥K|M| \ge K 2-SATはカウントできますか？カウント機構はありますか？疑わしいようです。
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Divisibilityの最も効率的なアルゴリズムは何ですか？
何Divisibity意思決定問題のために、今日知られている最も効率的な（時間の複雑さ）アルゴリズムである：言う、与えられた二つの整数とB、し除算bは？私が求めるのは、（必ずしも）剰余計算のアルゴリズムではないことを明確にしましょう。aがbを除算するかどうかを知りたいだけです。より具体的には、私の質問は、O （m log m log log m ）よりも優れた時間の複雑さを伴う除算のための最近のアルゴリズムが存在するかどうかです。ここで、mはmax { aのビット数ですaaabbbaaabbbaaabbbO(mlogmloglogm)O(mlog⁡mlog⁡log⁡m)O(m\log m\log\log m)mmm。さらに、はこの問題の下限ですか？max{a,b}max{a,b}\max\{a,b\}Ω(mlogmloglogm)Ω(mlog⁡mlog⁡log⁡m)\Omega(m\log m\log\log m) 感謝と敬意、そしてこれがそのような素朴な質問であれば申し訳ありません。
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スパース入力での計算関数の単調な回路の複雑さ
重量バイナリ文字列のは、文字列内の1の数です。少数の入力で単調関数を計算することに興味がある場合はどうなりますか？|x||x||x|x∈{0,1}nx∈{0,1}nx\in\{0,1\}^n 私たちは、グラフが持っているかどうかの決定ということを知っているのグラフは、最大で例えばある場合-cliqueはモノトーン回路のは難しいですが（他の人アロンBoppana、1987年の中で参照）が、のモノトーン囲まれた深回路を見つけることが可能とエッジサイズクリーク を決定します。kkkk3k3k^3f(k)⋅nO(1)f(k)⋅nO(1)f(k)\cdot n^{O(1)}kkk 私の質問：重みが未満の入力でも、単調な回路では計算が難しい関数はありますか？ここでハードとは、回路サイズ意味し ます。kkknkΩ(1)nkΩ(1)n^{{k}^{\Omega(1)}} さらに良い：重みと入力だけを気にする場合でも、計算が難しい明示的な単調関数はありか？k1k1k_1k2k2k_2 EmilJeřábekは、既知の下限が2つの入力クラスを分離するモノトーン回路に当てはまることを既に観察しました（ -cliques対最大 -colorable graphs）。固定重量の2つの入力クラスで機能します。これにより、は関数になりますが、これは避けたいものです。aaa(a−1)(a−1)(a-1)k2k2k_2nnn 本当に好きなのは、よりもはるかに小さいおよび明示的なハード関数です（パラメーター化された複雑度フレームワークのように）。あればさらに良い。 k1k1k_1k2k2k_2nnnk1=k2+1k1=k2+1k_1=k_2+1 正の答えは、任意の回路の指数下限を意味することに注意してください。k1=k2k1=k2k_1=k_2 更新：この質問は部分的に関連する場合があります。
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計算幾何学またはグラフ理論のどの問題が
これは、多項式時間硬さの結果に関するRobin Kothariの以前の投稿へのフォローアップ質問として意図されています。 具体的には、おおよそ下限を持つと考えられる問題に対するいくつかの硬度の証明を見ることに興味があり、ワードサイズ（3SUMの場合など） Barab et al。[スプリンガー経由]）。応答が単純化されれば、決定木モデルに問題を残していただければ幸いです。Ω （ n3）Ω（n3）\Omega(n^3) ロビンのポストから、私はジェフ・エリクソンのを知った紙与え下げる5SUM行き（より正確に、彼は示してk個の中-SUMランΩ （nは⌈ K / 2 ⌉）一般的に時間を）。Ω （ n3）Ω（n3）\Omega(n^3)kkkΩ(n⌈k/2⌉)Ω(n⌈k/2⌉）\Omega (n^{\lceil k/2 \rceil}) 計算幾何学またはグラフ理論の問題の立方体の下限を推測するためにそのような縮小を使用して、論文または他の参考文献が存在しますか？
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2つのキューを使用したリストの反転
この質問は、スタック操作ごとに償却時間で2つのキューを使用してスタックをシミュレートできるかどうかに関する既存の質問に触発されています。答えは不明のようです。以下に、より具体的な質問を示します。これは、すべてのPUSH操作が最初に実行され、次にすべてのPOP操作が実行される特殊なケースに対応しています。最初に空の2つのキューを使用して、要素のリストをどれだけ効率的に逆にすることができますか？法的操作は次のとおりです。O(1)O(1)O(1)NNN 入力リストの次の要素をキューに入れます（どちらかのキューの末尾に）。 どちらかのキューの先頭にある要素をデキューし、再度（いずれかのキューの末尾に）エンキューします。 いずれかのキューの先頭にある要素をデキューし、出力リストに追加します。 入力リストが要素で構成されている場合、逆の出力リスト[N、N-1、...、2、 1]振る舞いますか？O（N）よりも速く成長するという証明は、元の質問を否定的に解決するため、特に興味深いでしょう。[1,2,...,N−1,N][1,2,...,N−1,N][1,2,...,N-1,N][N,N−1,...,2,1][N,N−1,...,2,1][N,N-1,...,2,1]O(N)O(N)O(N) 更新（2011年1月15日）：提出された回答とそのコメントに示されているように、問題はO(NlogN)O(Nlog⁡N)O(N \log N)で解決できます。\ Omega（N）の下限Ω(N)Ω(N)\Omega(N)は自明です。これらの境界のいずれかを改善できますか？
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