算術回路はブール値よりも弱いですか？

LET （非単調）演算の意味最小サイズ指定された多重線形多項式演算回路 $A(f)$ $(+,\times,-)$ および示す（非単調）ブール値の最小サイズ演算回路ブールバージョンのによって定義される：

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{e \in E} c_{e} \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{e_{i}},

$f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{e\in E}c_e\prod_{i=1}^n x_i^{e_i}\,,$

B (f)

$B(f)$

(\lor, \land, \neg)

$(\lor,\land,\neg)$

f_{b}

$f_b$

f

$f$

f_{b} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \underset{e \in E}{⋁} \underset{i : e_{i} \neq 0}{⋀} x_{i} .

$f_b(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{e\in E}\ \bigwedge_{i\colon e_i\neq 0} x_i\,.$

$f$ $B(f)$ $A(f)$

回路の単調バージョンを検討する場合-マイナス $(-)$ $(\neg)$ $B(f)$ $A(f)$ $f$ $K_n$ $B(f)=O(n^3)$ $A(f)=2^{\Omega(n)}$ $A(f)$

注（2016年3月15日）私の質問では、係数

大きさを指定していません。イゴール・セルゲーエフは私に覚えている、例えば、下記（変量）多項式

有する

（Strassenのとの人々彼のグループ）。ただし、この多項式では

です。なぜなら

c_{e}

$c_e$

f (z) = \sum_{j = 1}^{m} 2^{2^{j m}} z^{j}

$f(z)=\sum_{j=1}^m 2^{2^{jm}} z^j$

A (f) = Ω (m^{1 / 2})

$A(f)=\Omega(m^{1/2})$

B (f) = 0

$B(f)=0$

です。フロンを入手できます

f_{b} (z) = z

$f_b(z)=z$

多変数多項式

の

クロネッカー置換を用いて使用して変数を。すべての指数

に単項式

、ここで

f

$f$

f^{'} (x_{1}, \dots, x_{n})

$f'(x_1,\ldots,x_n)$

n = \log m

$n=\log m$

j

$j$

X_{j} = \prod_{i : a_{i} = 1} x_{i}

$X_j=\prod_{i:a_i=1}x_i$

(a_{1}, \dots, a_{n})

$(a_1,\ldots,a_n)$ のバイナリ表現の0-1係数で

、その後、所望の多項式である

j

$j$

、と我々はその

ただし、

ブールバージョンは変数のORであるため、

f^{'} = \sum_{j = 1}^{m} c_{j} X_{j}

$f'=\sum_{j=1}^m c_j X_j$

A （ f^{'} ） + n \geq A （ f ） = Ω （ m^{1 / 2} ） = 2^{Ω （ n ）} 。

$A(f')+n\geq A(f)=\Omega(m^{1/2})=2^{\Omega(n)}.$

f^{'}

$f'$

、そして私たちも、指数のギャップを持っています。したがって、変数の数

で係数の大きさが三重指数になる可能性がある場合、ギャップ

は指数関数的であることを示すことができます。（実際には、大きさそのものではなく、係数の代数的依存性です。）これが、

実際の問題が小さな係数の場合（理想的には、0-1のみ）である理由です。しかし、この場合、ジョシュアが思い出したように、下限

B (f^{'}) \leq n - 1

$B(f')\leq n-1$

n

$n$

A (f) / B (f)

$A(f)/B(f)$

A (f)

$A(f)$

StrassenとBaur（0〜1係数）の

は、現在でも最高です。

A (f) = Ω (n \log n)

$A(f)=\Omega(n\log n)$

— スタシス
ソース

パーマネントは、少なくとも条件付きで資格があるように見えます（つまり、想定しています） $\mathsf{VP}^0 \neq \mathsf{VNP}^0$

$\Omega(n \log n)$ $\sum_{i=1}^n x_i^n$ $\Omega(n \log n)$ $x_1 \vee x_2 \vee \dotsb \vee x_n$

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

こんにちはジョシュア：あなたは正しい、パーマネントは（条件付きではあるが）例です！さて、パーマネントのA（f）の下限はわかりません。しかし、VPとVNPの定数なしのバージョンが異なる場合、（実際の）境界を知らずに分離B（f）とA（f）を知っています。

— Stasys

@Stasys：一般的な代数回路に対する現在の最良の下限は次のものだけであるため、あなたが要求した「小さなギャップ」でさえ無条件に知られる可能性は低いことに注意してください。

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$ ！リニアサイズブール回路との間にギャップがあることが可能ですし、準線形代数、それはそう下限が、より強力な何も無条件で知られていない、そしてそれはださ本当に ...小さなギャップ

— ジョシュアGrochow

ジョシュアで：正しい、良い点。fがすべてn個の単一変数のn乗の合計である場合、B（f）は最大でnであり、Baur-StrassenはA（f）がnの対数の少なくとも約n倍であることを示します。これはA（f）で最もよく知られています。だから、最も知られている明示的に私の質問のためのギャップは確かに唯一の対数です。（質問は別として：私の@が常にコメントで消える理由を知っていますか？）

— Stasys

@Stasys：いい例です。（再：脇に。私はしません。システムは、物事が「調整」された人のいくつかの自動推論を行い、「デフォルトの人」にメッセージを向けている場合、それを削除すると思います。。）

— ジョシュアグロチョフ

正しい。投稿の作成者には常に新しいコメントが通知されるため、システムは明示的な@通知を冗長として削除します。

— エミルイェジャベク3.0