Ω（n lg n）の一意性/区別性の最悪の場合の簡単な証明？

（代数計算ツリーまたは敵対的引数に基づく）要素の一意性/識別性問題の対数線形下限にはいくつかの証明がありますが、アルゴリズム分析と設計の最初のコースで使用するのに十分簡単なものを探しています。ソートの下限と同じ「難易度」でも問題ありません。また、任意のアプローチ（例えば、組み合わせまたは情報理論に基づく）でも問題ありません。助言がありますか？

cc.complexity-theory lower-bounds proofs

— マグナスリーヘットランド
ソース

どのような計算モデルを念頭に置いていますか？アイテムが小さな整数の場合、ソートによりを実行できます。アイテムの不等式のみを比較できる場合、下限があるようです。あなたが探している答えから、アイテムは直線的に順序付けられており、<、=、>については比較できるが、他の操作はできないことを推測するのは正しいですか？

o (n \log n)

$o(n \log n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— ウォーレンシューディ

彼のコメントでのウォーレンの質問はいい呼びかけです。これに関連して、David Eppsteinによる別の質問に関するコメントは洞察力に富んでおり、この種の下限について話すときに計算モデルを指定することの重要性を強調しています。ところで、「代数計算ツリー」（計算のモデル）と「敵対的引数」（証明方法）を並べてリストするのが意味があるかどうかはわかりません。

— 伊藤剛

非常に良い点。ここでの私のアプリケーションは、削減による硬度の証明について説明しています。たとえば、一意性からソート（および他のいくつかの問題）に削減することによってです。したがって、比較ソートを使用する場合と同じ基本操作を想定しています（そのため、リダクションが機能します）。（または、実数を持つRAMと同等のものは何でも推測します。）

— マグナスリーヘットランド

回答:

<、=、>のみを使用する区別の証明書（証明）には、並べ替えられた順序で隣接する要素の各ペア間の比較を含める必要があります。したがって、識別証明書はソートに十分な情報を提供するため、ソートの標準的な情報理論的下限は決定論的識別アルゴリズムにも適用されます。

— ウォーレン・シューディ
ソース

この引数は、比較ツリーでは機能しますが、より一般的な決定ツリーモデルでは（直接）機能しません。

— ジェフ

JeffE：そうですね。より一般的なモデルで機能するマグナスの目的に十分な簡単な証拠があるとは思わない。

— ウォーレンシューディ

正しい。比較ツリーは私のアプリケーションに適しています。したがって、これは私が探しているものにかなり近いと思います。私のアプリケーションは、ソートの削減を含む硬度プルーフのアイデアを説明していたので、ここでソートプルーフが使用されているという事実は、全体を短絡させます。私は明示的にそれを述べるべきだったと思う：

— マグナスリーヘットランド

質問を正しく理解しているかどうかはわかりませんが、n個の数値に関する一意性の問題には線形決定木モデルでのΩ（n log n）比較が必要であるというドブキンとリプトン[DL79]による証明は、 Ben-Or [Ben83]による代数計算ツリーモデル（当然のことながら）。

参照資料

[Ben83]マイケル・ベン・オー。代数計算ツリーの下限。ではコンピューティングの理論（STOC 1983）第15回年次ACMシンポジウム、頁80-86、4月1983 http://doi.acm.org/10.1145/800061.808735

[DL79]デビッドP.ドブキンとリチャードJ.リプトン。プリミティブのさまざまなセットの下での計算の複雑さについて。 Journal of Computer and System Sciences、18（1）：86–91、1979年2月。http：//dx.doi.org/10.1016/0022-0000（79） 90054-0

— 伊藤剛
ソース

要するに、すべての可能な入力のスペースR ^ nを考慮してください。正の入力のセットにはn！接続されたコンポーネント、順列ごとに1つ。一方、線形決定ツリーのリーフに到達できるサブセット入力は凸状であるため、接続されています。したがって、一意性を決定する線形決定木には、少なくともn！葉。

— ジェフ

整数入力の特殊な場合には、より微妙な引数が必要です。Lubiw andRács、「整数要素の明瞭性の問題の下限」、Information and Computation 1991を参照してください。またはヤオ、FOCS 1989「低級整数入力を代数計算木の境界」

— Jeffε

@JeffE：あなたの短い説明は素晴らしいです。また、興味深い結果へのポインタをありがとう。入力が整数に制限されている場合、Ben-Orの下限がすぐに適用されないことは私には決してありませんでした！

— 伊藤剛

ジェフ：これらは答えになるはずです！

— スレシュヴェンカト

伊藤剛とJeffEの両方に感謝します。以前に（敵対的な引数を使用した設定で）R ^ n空間の証明を見てきました。最初に読んだとき、対象読者にとっては少し複雑すぎると思っていましたが、そうではないかもしれません。ありがとう。（整数の場合についての論文も見てきました–私は講義でそれに入るつもりはありません…:)

— マグナスリーヘットランド