2-CNFまたは2-SATで表現可能なプロパティ

特定のプロパティが2-CNF（2-SAT）で表現できないことをどのように示しますか？小石ゲームなどのゲームはありますか？古典的な黒の小石ゲームと黒と白の小石ゲームはこれには適さないようです（HertelとPitassi、SIAM J of Computing、2010によると、これらはPSPACE完全です）。

またはゲーム以外のテクニックはありますか？

編集：未知の述語（有限モデル理論家が言うように、SO述語）のカウント（またはカーディナリティ）を含むプロパティを考えていました。たとえば、クリークまたは重みのないマッチングのように。（）クリーク：クリークあり所与のグラフのように与えられた数？（b）はマッチング：一致ありにおける、そのようなこと？ $C$ $G$ $|C| \ge$ $K$ $~$ $M$ $G$ $|M| \ge K$

2-SATはカウントできますか？カウント機構はありますか？疑わしいようです。

sat lower-bounds combinatorial-game-theory

— サミール・グプタ
ソース

Ehrenfeucht–Fraïsséゲーム（FO用）およびAjtai-Faginゲーム（モナドSO用）が有限モデル理論にあることを理解しています。しかし、ここで十分かどうかはわかりません。また、FMTのゲームは規則正しい構造で複雑になりますよね？

— サミールグプタ14

@Marzioは、あなたが質問に答えると述べるように、すべてのブール関数が2CNFで表現できるわけではないという証拠のようです（実際にはそれを確信していない、それを明白に見ないでください）。その証拠は何ですか？どこかに公開されていますか？

— vzn

@vzn：2-CNFで表現ではない些細なブール関数である：

(x_{1} \lor x_{2} \lor x_{3})

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$

— マルツィオデBIASI

@SameerGupta：再定式化の後、perhpasの質問は難しくなります:-); 確かに

、

実存SOはNPを捕捉しながら、二つの変数（SO-Krom）と節に限定されるが、NLの上に規則正しい構造を捕捉します。明らかにFO 2-SATに限定されたものは数えられません（そして、Ehrenfeucht–Fraïsséゲームまたはコンパクト化のテクニックは、PARITYがFOで定義できないことを証明するために使用できるので十分です）。

\exists P_{1} . . . \exists P_{n} \forall \bar{z} φ (P_{1}, . . ., P_{n}, \bar{z})

$\exists P_1...\exists P_n \forall \bar{z} \varphi( P_1,...,P_n, \bar{z})$

φ

$\varphi$

— マルツィオデBIASI

OK。

-SATは定数

すべてのブール関数を表現できないという一般的な理論があるようです。その理論は何ですか？この質問は、特殊なケース

について尋ねます。Tseitin変換を介して

-SATを3-SAT に「削減」する概念があることに注意してください。また、同様の概念がモノトーン回路の下限の証明（Razborov）に現れています。

k

$k$

k

$k$

k = 2

$k=2$

n

$n$

— vzn 14年

回答:

ビットベクトルのファミリーは、2 SAT問題の解のクラスであり、メディアンプロパティがある場合に限ります。ビットごとの多数決関数を3つの解に適用すると、別の解が得られます。たとえば、https：//en.wikipedia.org/wiki/Median_graph#2-satisfiabilityとそのリファレンスを参照してください。そのため、これが当てはまらない3つの解決策を見つけることができれば、2-CNFで表現できないことがわかります。

— デビッド・エップスタイン
ソース

デイビッド、ありがとう、これを調べるでしょう。@vzn-Davidの答えは、チャットサイトで2日前にコメントしたこと、3SAT式はビットベクトルのすべてのセットに存在し、ビットベクトルセットに関する2SAT式の結果を探していることに関連していますか？

— サミールグプタ14

David、Yuval-同じ変数セットを使用する場合、確かに証明は機能します。しかし、使用される変数のセットが完全に異なる場合はどうでしょうか？Martin Seymourの答えはこちらをご覧ください：cstheory.stackexchange.com/questions/200/…-K-CliqueまたはK-Matchingから2SATへの等満足な削減（好ましくは対数スペース）がないことを示すには、別の証明が必要です。。考え？

— サミールグプタ14

補助変数を追加してそれらを投影しても、補助変数システムの中央値プロパティがtrueの場合、投影でもtrueであるため、役に立ちません。

— デビッドエップシュタイン14年

別の言い方をすれば、中央値（または大多数）は2SAT制約のポリモーフィズムです。実際には、することが知られています任意の多形として過半数を有するCSP（たとえ非ブール）である

（ダルマウ-Krokhin '08）。

N L \subseteq P

$\mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$

— arnab 14年

レッツ上の特性である変数。2CNF式があると仮定よう $P(x_1,\ldots,x_n)$ $n$ $\varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)$ はのみを含む2CNF式と等価であると主張します。これを証明するには、を削除する方法を示すだけで十分です。書き込み

P (x_{1}, \dots, x_{n}) \Leftrightarrow \exists y_{1} \dots \exists y_{m} φ (x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{m}) .

$P(x_1,\ldots,x_n) \Leftrightarrow \exists y_1 \cdots \exists y_m \varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m).$

φ

$\varphi$

ψ

$\psi$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

y_{m}

$y_m$

リテラルであり、

関与しない

。式

と等価である

φ = χ \land ⋀_{k = 1}^{s} (y_{m} \lor U_{k}) \land ⋀_{ℓ = 1}^{t} (\bar{y_{m}} \lor V_{ℓ}),

$\varphi = \chi \land \bigwedge_{k=1}^s (y_m \lor U_k) \land \bigwedge_{\ell=1}^t (\overline{y_m} \lor V_\ell),$

U_{k}, V_{ℓ}

$U_k,V_\ell$

χ

$\chi$

y_{m}

$y_m$

φ

$\varphi$

χ \land (\bar{y_{m}} \Rightarrow ⋀_{k = 1}^{s} U_{k}) \land (y_{m} \Rightarrow ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land (⋀_{k = 1}^{s} U_{k} \lor ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land ⋀_{k = 1}^{s} ⋀_{ℓ = 1}^{t} (U_{k} \lor V_{ℓ})

$\chi \land (\overline{y_m} \Rightarrow \bigwedge_{k=1}^s U_k) \land (y_m \Rightarrow \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land (\bigwedge_{k=1}^s U_k \lor \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land \bigwedge_{k=1}^s \bigwedge_{\ell=1}^t (U_k \lor V_\ell)$

y_{m}

$y_m$

$P(x_1,\ldots,x_n)$ $\psi(x_1,\ldots,x_n)$ equivalent to $P$ . Therefore a property $P$ is expressible as a 2CNF if every falsifying assignment is forced by at most two literals. In particular, $K$ -clique and $K$ -matching are not expressible as 2CNFs (except for the corner case $n$ -clique).

— Yuval Filmus
ソース

Yuval, thanks, but I have a question. why eliminate the

y_{i}

$y_i$ 's? Why restrict

ψ

$\psi$ to contain only

x_{1}

$x_1$ ,

x_{2}

$x_2$ ,

\dots

$\cdots$ ,

x_{n}

$x_n$ ? For example, consider a poly-time solvable special case

ϕ_{1}

$\phi_1$ of 3CNF. When you convert this to a 2CNF formula

ϕ_{2}

$\phi_2$ , one would "expect"

ϕ_{2}

$\phi_2$ to contain additional variables, isn't it? Am I missing something?

— Sameer Gupta

@Sameer What I'm showing is that you don't need the

y_{i}

$y_i$ s. They don't help you. You can get rid of them. If you don't have the

y_{i}

$y_i$ s, it's much easier to understand what's going on.

— Yuval Filmus

(a) Addition and multiplication are both in $L$ : http://people.clarkson.edu/~alexis/PCMI/Notes/lectureB02.pdf $-$ so counting in $L$ should be possible.

(Yes, I know that addition, multiplication and counting compute functions, but it's easy to convert them to decision versions of their respective problems.)

(b) Since $L \subseteq NL$ , and 2-CNF is complete for $NL$ under $AC^0$ reductions, the counting algorithm (the TM) can be reduced to a 2-CNF expression similarly (under $AC^0$ ).

(c) So for counting, even though you may be unable to obtain an equivalent expression in 2-CNF, using the method outlined in (b), you can obtain an equisatisfiable 2-CNF expression.

So yes, 2-SAT can count.

Were you hoping to show that Matching cannot be in $NL$ by showing that $|M|$ cannot be counted in $NL$ ? I don't think that's going to work.

— Martin Seymour
ソース

Re (c), if you believe my answer then an equisatisfiable 2-CNF expression can be converted to a bona fide equivalent 2-CNF expression.

— Yuval Filmus

At cstheory.stackexchange.com/questions/200/…

-

$-$ it is shown that for Horn-SAT, equisatifiability is not the same as equivalence.

$~$ Are you saying that they are the same for 2-CNF?

$~$ (Also the equisatisfiable or equivalent expression should be obtained within certain time/space bounds.)

— Martin Seymour

You can read my answer and see for yourself. Note that there are no time/space bounds in this case.

— Yuval Filmus

@Yuval: What Martin Seymour means by equisatisfiability is that for the given problem

L

$L$ , there is an efficient (say,

{A C}^{0}

$\mathrm{AC}^0$ ?) reduction

f

$f$ whose range are 2-CNF, and

x \in L

$x\in L$ iff

f (x)

$f(x)$ is satisfiable. The reduction is not in any way part of the syntax of the formula, so there is nothing in your answer that would magic it away. And, as follows from David Eppstein’s answer, it is in general indispensable. What I’m not convinced about is that this idea of “equisatisfiability” has anything to do with the original question.

— Emil Jeřábek 3.0

Emil, Precisely! In the other direction, if Yuval starts with an equisatisfiable expression (

ϕ

$\phi$ in his answer), there will be NO

x_{i}

$x_i$ 's in his

ϕ

$\phi$ to begin with

-

$-$ so at the end of all his operations (or rather, during his operations), he will NOT be able to magically make the

x_{i}

$x_i$ 's appear in his expression.

$~$ Emil, sorry I don't understand what you mean by "indispensable according to David Eppstein's answer". Can you please explain?

— Martin Seymour