スパース入力での計算関数の単調な回路の複雑さ

重量バイナリ文字列のは、文字列内の1の数です。少数の入力で単調関数を計算することに興味がある場合はどうなりますか？ $|x|$ $x\in\{0,1\}^n$

私たちは、グラフが持っているかどうかの決定ということを知っているのグラフは、最大で例えばある場合-cliqueはモノトーン回路のは難しいですが（他の人アロンBoppana、1987年の中で参照）が、のモノトーン囲まれた深回路を見つけることが可能とエッジサイズクリークを決定します。 $k$ $k^3$ $f(k)\cdot n^{O(1)}$ $k$

私の質問：重みが未満の入力でも、単調な回路では計算が難しい関数はありますか？ここでハードとは、回路サイズ意味します。 $k$ $n^{{k}^{\Omega(1)}}$

さらに良い：重みと入力だけを気にする場合でも、計算が難しい明示的な単調関数はありか？ $k_1$ $k_2$

EmilJeřábekは、既知の下限が2つの入力クラスを分離するモノトーン回路に当てはまることを既に観察しました（ -cliques対最大 -colorable graphs）。固定重量の2つの入力クラスで機能します。これにより、は関数になりますが、これは避けたいものです。 $a$ $(a-1)$ $k_2$ $n$

本当に好きなのは、よりもはるかに小さいおよび明示的なハード関数です（パラメーター化された複雑度フレームワークのように）。あればさらに良い。 $k_1$ $k_2$ $n$ $k_1=k_2+1$

正の答えは、任意の回路の指数下限を意味することに注意してください。 $k_1=k_2$

更新：この質問は部分的に関連する場合があります。

— マッシモラウリア
ソース

最初の（一般的な）質問（Cliqueについてではありません）。せいぜい入力の場合でも、非常に難しいと思います。二部グラフを取ります。各頂点にブール変数ます。LET、そのミンタームである単調ブール関数でエッジ用の。レッツ正しく計算単調回路の最小サイズで持つ入力にのもの。次に、定数の下限

2

$2$

n \times m

$n\times m$

G

$G$

m = o (n)

$m=o(n)$

u

$u$

x_{u}

$x_u$

f_{G} (x)

$f_G(x)$

x_{u} \land x_{v}

$x_u\land x_v$

u v

$uv$

G

$G$

s (G)

$s(G)$

f_{G}

$f_G$

\leq 2

$\leq 2$

s (G) \geq (2 + c) n

$s(G)\geq (2+c)n$

c > 0

$c>0$ は、非単調回線の指数下限を意味します。

— Stasys

モノトーン回路の既存の引数では、多数（）の入力を持つ多数の入力を拒否する必要があります。これまでにできる最善の方法は、回路がすべてのクリークを受け入れ、完全な -partiteグラフをすべて拒否する必要がある場合下限を証明することです。（）。ところで重要なのは、密な入力ではなく疎なものを扱うことです。セイは、 -Clique約サイズの単調回路を必要とすべての定数のが、 -Cliqueサイズの単調回路有するのためのすべてを

≫ n / 2

$\gg n/2$

\exp (min {a, n / b}^{1 / 4})

$\exp(\min\{a,n/b\}^{1/4})$

b

$b$

a

$a$

a < b

$a<b$

k

$k$

n^{k}

$n^k$

k \geq 3

$k\geq 3$

(n - k)

$(n-k)$

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$ 定数。

k

$k$

— Stasys

スパースグラフの意味でスパース入力が重要であることを明確にする必要があります。探している非常に疎なグラフで-clique（言うのとエッジ）FPT単調回路規模で行うことができます。

k

$k$

k^{10}

$k^{10}$

— MassimoLauria

最初のコメントの例はとてもいいです。私が正しく理解していれば、これは固定重み困難な単調関数の同様の問題です。疑似補関数を使用して否定入力をシミュレートすると、回路の複雑さは単調な場合と非単調な場合で異なりません。定数（または小さい）この擬似補数は単調な回路によって効率的に実装できます。

k

$k$

k

$k$

— MassimoLauria

私の最初のコメントはグラフの複雑さに依存していました。「」現象は、このドラフトの 13ページに記載されています。ところで、私はあなたが「kとk + 1にとって難しい」ということの意味をよく理解していませんか？（もちろん私のせい。）

(2 + c) n

$(2+c)n$

— Stasys

質問の一部を特に考慮して（例えば = 1、 = 2）、Lokamはこの論文で「2スライス」関数を研究し、それらの強い下限が一般化できることを証明しました。基本的な複雑さのクラス分離に関連し、そのような構築/明示的な関数はブレークスルーになります。要約から： $k_1$ $k_2$

ブール関数fは、2未満の入力でゼロと評価され、2を超える入力で1と評価される場合、2スライス関数と呼ばれます。正確に2つの1を持つ入力では、fが自明ではない場合があります。2スライス関数とグラフの間には自然な対応があります。グラフの複雑さのフレームワークを使用して、2スライス関数の非常に特殊なクラスの十分に強い超線形単調下限は、それらから派生した特定の関数の完全なベースで超多項式下限を意味することを示します。

グラフの複雑さとスライス関数/ Satyanarayana V. Lokam、理論計算システム36、71–88（2003）

また、彼のコメントのように、SJは、グラフの星の複雑さを探索するセクションの彼の本でこの同様のケースをカバーしています。

ブール関数の複雑さ：進歩とフロンティア、Stasys Jukna

— vzn
ソース