パラメーター化されたCLIQUEの硬度？

してみましょう $0\le p\le 1$ と意思決定問題を考えます

クリーク入力：整数、グラフと頂点とエッジ質問：ん、少なくとも上クリーク含むの頂点を？ $_p$
$s$ $G$ $t$ $\lceil p\binom{t}{2} \rceil$
$G$ $s$

CLIQUEのインスタンスには、考えられるすべてのエッジのうち割合が含まれています。明らかに、値によってはCLIQUEが簡単です。CLIQUEには完全に切断されたグラフのみが含まれ、CLIQUEは完全なグラフが含まれます。どちらの場合でも、CLIQUEは線形時間で決定できます。一方、値がに近い場合、CLIQUEは、CLIQUE自体からの削減によりNP困難です。本質的に、Turánグラフとの素な結合をとるだけで十分です。。 $_p$ $p$ $_p$ $p$ $_0$ $_1$ $_p$ $p$ $1/2$ $_p$ $T(t,s-1)$

私の質問：

CLIQUE は $_p$ 、すべての値に対してPTIMEまたはNP-completeのどちら $p$ ですか？または、CLIQUE が中程度の複雑さを持つ値はありますか（P≠NPの場合）？ $p$ $_p$

この質問は、ハイパーグラフに関する関連する質問から生じましたが、それ自体が興味深いようです。

cc.complexity-theory np parameterized-complexity clique

— アンドラス・サラモン
ソース

興味深い質問！

— Suresh Venkat

paは0〜1の実数ですか、またはpはtの関数になりますか？

— ロビンコタリ

@Robin：指定していませんが、両方とも興味深いでしょう。

— アンドラスサラモン

エッジの割合が上限（正確なカウント要件または下限ではない）である場合、定数

0 < p < 1

$0<p<1$ この問題はCLIQUEからの削減によりNP困難です：孤立した頂点の十分に大きなセットを追加します。数のエッジが指定された式に等しいという要件はありますか？それとも私が見逃しているのは明白に明らかなものですか？:

— gphilip

@gphilip：あなたが指摘しているように、比率が上限である場合、削減は即時です。これが、質問が正確な割合で表現されている理由です。

— アンドラスサラモン

回答:

問題CLIQUE _pの定義の数値は、質問に対するgphilipのコメントとは異なり、グラフのエッジの数と正確に等しいと仮定します。 $\left\lceil p \binom{t}{2} \right\rceil$

問題CLIQUE _pは、通常のCLIQUE問題からの縮小により、任意の有理定数0 < p <1 に対してNP完全です。（と仮定pは合理的であるのみように要求されるから計算することができるNの時間多項式でN）。 $\lceil pN \rceil$

ましょうkは ≥3両方満たす整数であるK ² ≥1/ P及び（1-1 / K）（1-2 / K）> Pを。しきい値sとともにn個の頂点とm個のエッジを持つグラフGが与えられると、縮小は次のように機能します。

s < kの場合、時間O（n ^s）でCLIQUE問題を解決します。少なくともsのサイズのクリークがある場合、固定のyesインスタンスを生成します。それ以外の場合は、固定のインスタンスは生成されません。
n < sの場合、固定のインスタンスは生成されません。
もしN ≥ S ≥ K、我々はに追加G（K -1）-partiteグラフ各セットはから成るn個の頂点を正確に有するエッジ、このグラフを作成します。 $\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

ケース1はO（n ^{k -1}）時間を要することに注意してください。これは、すべてのpに対するnの多項式です。ケース3は、可能であるので、もしN ≥ S ≥ K、次いで負でないと完全な（のエッジの最も数であるK-1）-partiteグラフK_、N_、...、_N次の二つの特許請求の範囲に示されるように。 $\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

請求項1。。 $\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \ge 0$

証明。以降、 $m \le \binom{n}{2}$ 、または同等PNK（NK-1）≥N（N-1）。以来、P≥1 /K²、我々はPNKを（NK-1）≥N（N-1 /K）≥N（N-1）。 QED。 $p \binom{nk}{2} \ge \binom{n}{2}$

クレーム2。。（右側は、完全な（k-1）部分グラフK_n_、…、_nのエッジの数であることに注意してください。） $\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \lt n^2 \binom{k-1}{2}$

証明。以降とM我々は証明する場合≥0、それが十分で $\lceil x \rceil \lt x+1$ 、又は等価的にN²（K-1）（K-2） -PNK（NK-1） - 2≥0ので、P<（1-1 /K）（1-2 /K）、我々は $p \binom{nk}{2} + 1 \le n^2 \binom{k-1}{2}$

n^{2} （ k - 1 ） （ k - 2 ） - p n k （ n k - 1 ） - 2

$n^2(k-1)(k-2) - pnk(nk-1) - 2$

\geq n^{2} （ k - 1 ） （ k - 2 ） - n （ n - \frac{1}{k} ） （ k - 1 ） （ k - 2 ） - 2

$\ge n^2(k-1)(k-2) - n \left( n-\frac{1}{k} \right) (k-1)(k-2) - 2$

QED。

= \frac{n}{k} (k - 1) (k - 2) - 2 \geq (k - 1) (k - 2) - 2 \geq 0.

$= \frac{n}{k} (k-1)(k-2) - 2 \ge (k-1)(k-2) - 2 \ge 0.$

編集：リビジョン1の削減にはエラーがありました。場合によっては、負の数のエッジを持つグラフが必要でした（pが小さい場合）。このエラーは修正されました。

— 伊藤剛
ソース

これは特定のフレージングに最も近いので、取り組みに感謝します。ケース3は、私が考えていたものに最も近いものです。しかし、私は計算に従っていません-少し拡大してもらえますか？

— アンドラスサラモン

@AndrásSalamon：できました。

— 伊藤剛

$p$ $t$ $p$ $\log^4 t$ $s$ $\log^2 t$ $t^{\log^2 t}$

$\log^2 t$

$p$

— ボアズ・バラク
ソース