ポリログ境界の深さ回路の回路下限のステータス

$AC^{0}$ $p$ $AC^{0}[q]$ $AC^0[q]$ $q$ $\gcd(p,q)=1$ 。ただし、入力を制限し、有限体で多項式を近似するなどの古典的な方法を使用すると、多対数深度回路で具体的な下限の結果を取得することはできません。

幾何学的複雑性理論につながり、ビット単位の演算を使用しない効率的な並列計算では最小コストフローの問題を計算できないことを示すSTOC'96論文を知っています。

これは、特定の制限された設定で、一部の完全問題の下限を証明できることを意味します。 $NC$ $P$

第一に、多対数深度回路の下限を証明するためのもっともらしいアプローチであるかもしれない他の方法または技術がありますか？

第二に、理論コミュニティにとって次の声明はどれほど有用ですか？

ブール関数計算する回路のサイズは、少なくとも。ここで、は、ターゲット関数。の値は、たとえば、不一致のような組み合わせ量、フィールド上の特定のタイプの行列のランクのような線形代数量、または以前は複雑性理論で使用されていなかったまったく新しい量です。 $NC$ $f\colon\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$ $l$ $l$ $f$ $l$

— シェン
ソース

注意が必要です。理解できない場合は、対数の深さまでです。NC ^ 1回路の超線形（！）下限はまだありません。ここで、マトリックスの剛性は望ましい「組み合わせ量」ですが、この量の十分に強力な下限はありません。さらに憂鬱なことに、ゲートとして許容されるのはファニン2 XORだけであっても、GF（2）上の線形変換f（x）= Axを計算するNC ^ 1回路の超線形下限は知られていません。（ほとんどすべての行列Aは、任意の深さで約n ^ 2 / \ log nのゲートを必要とします。）

— Stasys

@Stasys、あなたのコメントが答えになると思います。

— カベ

回答:

ポリログ回路の深さの下限を証明する手法では、現在のアプローチはすべて、制限された設定の下で機能します。同様に、あなたが言及したGCTに至る研究では、下限はビット操作なしの制限付きPRAMモデルに適用されます。

単調なブール関数の単調な制限である別の制限の下で、アーロン・ポテチンとの共同研究（ECCCおよびSTOC）で、単調な回路の深さの下限を証明するためのフーリエ解析（または列挙的組み合わせ）アプローチがあります。これは、Ran RazとPierre McKenzieによる以前の結果を改善したもので、回路の深さに関するMauricio KarchmerとAvi Wigderson の通信ゲームフレームワークを拡張します。

Karchmer–Wigdersonゲームを拡張するための別の研究ラインは、Scott AaronsonとAvi Wigdersonによって紹介された通信ゲームとして提案されました。GilllatKolとRan Raz（ECCCおよびITCS）。

単調性の構文上の制限の研究とは別に、Stephen Cook、Pierre McKenzie、Dustin Wehr、Mark Braverman、およびRahul Santhanamによる小石ゲーム（（約分岐プログラムと呼ばれる）に関連するセマンティック制限を研究するアプローチがあります。Dustin Wehrによるth約制限の下には、P完全問題の最もよく知られている上限と一致する強い下限があります。これらの結果は、確定的な空間の複雑さに関するもので、既知のシミュレーション結果による並列時間または回路の深さの下限です（たとえば、）。 $\text{AlternatingTime}[t] \subseteq \text{DeterministicSpace}[t]$

回路のサイズと深さに関する質問については、次のアプローチが関連している可能性があります。リチャード・リプトンとライアン・ウィリアムズは、深さの十分に強い下限（すなわち）が与えられると、弱いサイズの下限（すなわち） NCをPから分離します。この結果は、ブロックを尊重したシミュレーションに基づいたサイズと深さのトレードオフ引数から得られます。サイズの取引深度に関する初期の結果は、自己還元性の考え方に基づいたAllenderとKouckýによるものですが、NCやNL などのより小さな複雑度のクラスを研究しました。 $n^{1-O(1)}$ $n^{1+\Omega(1)}$ $^1$

上記のアプローチのうち、いくつかは回路のサイズと深さの両方を考慮しますが、他のアプローチは回路の深さのみを考慮します。特に、Mulmuleyの半代数幾何学的アプローチ、Kol–Razが研究した競合プロバイダーのプロトコルアプローチ、Allender–KouckýとLipton–Williamsのサイズと深さのトレードオフアプローチはすべて、サイズと深さの両方に関係します。回路の。結果チャン-Potechin、ラズ、マッケンジー、クック・マッケンジー- Wehrの-Braverman-Santhanam、及びWehrのサイズに関係なく、制限の設定の下で所与の回路深度下限。また、関連する通信ゲームの Aaronson–Wigdersonは、回路の深さのみを考慮しています。

一部のP完全問題は、サイズに関係なく、深さの小さい回路（つまり）で計算できないという知識と一致しています。（境界付きファンインの）小さな深さの回路でサイズが重要でない場合は、おそらく、小さな深さの回路のサイズに焦点を合わせるよりも、回路の深さに重点を置く方が理にかなっています。 $\log^{O(1)}n$

— シウマン
ソース

ありがとう！あなたが知っている限りでは、Q2にある声明は誰もが見つけたわけではありませんか？つまり、通信の複雑さの下限メソッドとは異なり、NC回路の下限を与える数学的量はありませんか？

— シェン

@shen、最後にさらに2つの段落を追加しました。それが役立つことを願っています。

— siuman

Lipton–Williamsの論文で使用されている弱いサイズの下限を増幅できるという考えは、実際にはAllenderとKouckýによるものです（eccc.hpi-web.de/report/2008/038）。

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします

@EmilJeřábekありがとう！その論文を追加しました。答えが今より良く見えることを願っています。

— siuman

Kavehの提案に続いて、コメントを（拡張された）回答として掲載しています。

に関して $Q1$ は、注意が必要です。理解できない場合は対数の深さでさえも、多対数については話さない。したがって、非単調な世界では、実際の問題はそれほど野心的ではありません。

対抗深度の問題：回路の超線形（！）下限を証明します。 $NC^1$

線形回路でも、問題は未解決のままです（現在は30年以上）。これらは基底上のファニン回路であり、上の線形変換を計算します。簡単に数えると、ほとんどすべての行列が任意の深さでゲートを必要とすることがわかります。 $NC^1$ $2$ $\{\oplus,1\}$ $f(x)=Ax$ $GF(2)$ $A$ $\Omega(n^2/\log n)$

$Q2$ ：はい、私たちは持っている いくつかの代数/ combinatoric対策、ログの深さの回路を打つことになる上下限を。残念ながら、これまでのところ、これらの測定値について十分に大きい境界を証明することはできません。線形回路の場合、そのような尺度は行列剛性です。これは、ランクをに減らすために変更する必要があるのエントリの最小数です。するのは簡単です示している、すべてのブールのために保持している行列 $NC^1$ $R_A(r)$ $A$ $A$ $r$ $R_A(r)\leq (n-r)^2$ $n\times n$ $A$ 、およびValiant（1977）は、この境界がほとんどすべての行列に対して厳しいことを示しました。対数深さの回路を打ち負かすには、次ようなブール行列シーケンスを示すだけで十分です。 $n\times n$ $A$

$R_A(\epsilon n)\geq n^{1+\delta}$ 定数の。 $\epsilon,\delta>0$

これまでのところ、行列を知ってい。シルベスター行列（つまり、内積行列）の場合、の下限は簡単に表示できます。 $A$ $R_A(r)\geq (n^2/r)\log(n/r)$ $\Omega(n^2/r)$

一般的な（非線形）回路の組み合わせ測度もあります。二部グラフ場合、最小数とし、が交点として記述できるようにします。それぞれが最大で完全な二部グラフの結合体である二部グラフ。一般的な対数深さ回路に勝つには、次のグラフのシーケンスを見つけるだけで十分です。 $NC^1$ $n\times n$ $G$ $t(G)$ $t$ $G$ $t$ $t$

$t(G_n)\geq n^{\epsilon}$ 定数場合、 $\epsilon >0$

（たとえば、これがどのように起こるかについてはこちらを参照）。繰り返しますが、ほとんどすべてのグラフにはます。ただし、Lokamが原因で、シルベスター行列の下限はままです。 $t(G)\geq n^{1/2}$ $t(G)\geq \log^3 n$

最後に、単調でない回路に対しても指数関数的（！）の下限をもたらす「単純な」組み合わせ尺度（量）で弱い（線形）下限があることを述べておきます。二部グラフ場合、を、星から開始するときにを生成するのに必要なファニンユニオン（）および交差（）操作の最小数とします。星は、1つの頂点を反対側のすべての頂点と結合するエッジのセットです。ほとんどすべてのグラフにます。一方、の下限 $n\times n$ $G$ $c(G)$ $2$ $\cup$ $\cap$ $G$ $c(G)=\Omega(n^2/\log n)$

$c(G_n)\geq (4+\epsilon)n$ 定数 $\epsilon>0$

は、変数の明示的なブール関数の非単調な回路の複雑さの下限をます。場合あるでグラフ、その後も、下限（再び、例えば、参照十分です、ここでこの問題が発生したどのように）。比較的簡単なグラフでは、下限を表示できます。ただし、問題は、「」を「」に置き換えてこれを行うことです。 $\Omega(2^{N/2})$ $f_G$ $N$ $G$ $n\times m$ $m=o(n)$ $c(G_n)\geq (2+\epsilon)n$ $c(G)\geq (2-\epsilon)n$ $-\epsilon$ $+\epsilon$ 」よりコンビナトリアル措置（含む低境界回路の複雑 -circuits）の中に見出すことができる本。 $ACC$

PSそれでは、を示すことから、一定の係数だけですか？もちろん違います。後者の尺度に言及したのは、下限の「増幅」（または「拡大」）を懐疑論の健全な部分で処理する必要があることを示すためだけです。線形）ほとんどすべてのグラフが（2次）を必要とするよりも、（弱い）下限を証明する固有の困難はさらに大きくなる可能性があります。もちろん、コンビナトリアルメジャーを見つけたので、関数のどのプロパティがそれらを計算的に困難にするかについて何かを言うことができます。これは間接的な証明に役立ちます $2+\epsilon$ $P\neq NP$ $c(G)$ 下限：複雑なクラスには、大規模な回路または数式を必要とする関数が含まれています。しかし、最終的な目標は、明確なハード関数を考え出すことです。その定義には「アルゴリズムの匂い」はなく、複雑な側面は隠されていません。

— スタシス
ソース

これは非常に興味深いものです。1.

上の線形関数の超線形下限は、非常に具体的な下限の質問のようです。2.計算に直接関係しない数学的概念の下限は、回路の下限に関連しています。

G F (2)

$GF(2)$

— カヴェー

マトリックスの剛性は明らかに統一された概念ですが、その構造は

で表されるほとんどすべての下限とは非常に対照的であるように見えますが、

（または

Ω (f (n))

$\Omega(f(n))$

Ω (f (n, r))

$\Omega(f(n,r))$

ここで、

は正方行列のための入力サイズです）。誰もが表現する他の方法を見ているマトリックス剛性などの点で

？

Ω (f (\sqrt{n}, r))

$\Omega(f({\sqrt n},r))$

n

$n$

Ω (f (n))

$\Omega(f(n))$

— vzn

@vzn：最強の下部に結合された

独立又は

である

から、

。私は、硬直が実際に何を意味するのかを誤解しているのではないかと心配しています。

R_{A} (r)

$R_A(r)$

r

$r$

0

$0$

R_{A} (n) = 0

$R_A(n)=0$

— Stasys