一定の深さの式の下限？

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（多項式サイズ）一定の深さの回路の制限について多くのことを知っています。（多項式サイズ）定数の深さの式は計算のさらに制限されたモデルであるため、AC ^0にないことが知られているすべての問題も定数の深さの式で計算できません。ただし、これは簡単なモデルであるため、このモデルでは計算できないことがわかっている問題がさらに多いと推測しています。これは研究されましたか？（私はそれがあったと推測していますが、私はおそらく正しい検索用語を使用していないでしょう。）

具体的には、次の質問に興味があります：サイズSのAC ⁰回路で計算できる関数fがありますが、Sで少なくとも2次、またはSで超多項式のサイズの定深度式が必要ですか？この種の最もよく知られている結果は何ですか？

一定の深さの式が何を意味するのかが明確でない場合、ツリーとして書き出す（内部ノードがAND / OR / NOTゲートであり、葉が入力である）場合、このツリーは定数を持つ式を意味します高さ。同様に、一定の深さの式は、すべての非入力ゲートのファンアウトが1である一定の深さの回路です。

cc.complexity-theory circuit-complexity lower-bounds

— ロビン・コタリ
ソース

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ゲートのコピーを複数回作成することで、多項式サイズを増やして、一定の深さの回路を同じ深さの一定の深さの式に変換するのは簡単です。回路の深さがで、サイズが場合、式には深さとサイズます。したがって、答えはノーです。 $d$ $O(p(n))$ $d$ $O((p(n))^d)$

— カベ
ソース

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これにより、サイズが2次以上に増加します。（もちろん、超多項式ではありません。）

— Iddo Tzameret

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答えてくれてありがとう。サイズSの一定の深さの回路を持っているが、サイズS ^ 2、またはS ^ 10などの式を必要とする特定の関数fについての考えはありますか？

— ロビンコタリ

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n^{2} / l o g n

$n^2/log n$

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この問題は、Benjamin Rossmanの最近の結果（http://eccc.hpi-web.de/report/2013/169/）によって（一定の要因まで）完全に解決されました。

$d$ $S$ $d$ $S^d$

$d$ $d$ $S = O(n^3)$ $\sqrt{\log n}$ $S^{\Omega(d)}$

（これを前に言うのを忘れました：この結果について私に知らせてくれたベンジャミン・ロスマンに感謝します。）

— ロビン・コタリ
ソース