確定的な通信の複雑さとパーティション番号

バックグラウンド：

アリスとボブが与えられた通信の複雑さの通常の二者モデル検討ビットストリングX及びYが、いくつかのブール関数を計算する必要があり、F （X 、Y ）、F ：{ 0 、1 } N × { 0 、1 } のn → { 0 、1 }。$n$$x$$y$$f(x,y)$$f:\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n \to \{0,1\}$

次の数量を定義します。

（の確定的通信の複雑 F）：アリスとボブの必要性が計算するために通信することビットの最小数 F （X 、Y ）確定。$D(f)$$f$$f(x,y)$

（のパーティション番号 F）のパーティション（又は互いに素カバー）における単色矩形の最小数の対数（基数2） { 0 、1 } N × { 0 、1 } N。$Pn(f)$$f$$\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$

単色矩形のサブセットであるR × Cようなfは、すべての要素に対して同じ値（すなわち、単色である）をとるR × C。$\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$$R \times C$$f$$R \times C$

また、パーティション番号は、この質問の主題である「プロトコルパーティション番号」とは異なることに注意してください。

詳細については、KushilevitzとNisanのテキストを参照してください。それらの表記法では、と定義したのはlog 2 C D（f ）です。$Pn(f)$$\log_2 C^D(f)$

注：これらの定義を容易に非ブール関数に一般化されたの出力、fはいくつか大きく設定されています。$f$$f$

既知の結果：

それすることが知られている下にバインドされているD （F ）全て（ブールまたは非ブール）のために、すなわち、F、P N （F ）≤ D （F ）。実際、D （f ）のほとんどの下限手法（またはすべてですか？）は実際には下限P n （f ）です。（これはすべての下限技術に当てはまることを誰でも確認できますか？）$Pn(f)$$D(f)$$f$$Pn(f) \leq D(f)$$D(f)$$Pn(f)$

また、この境界は最大で二次的に緩い（ブール関数または非ブール関数の場合）、つまりことも知られています。要約すると、次のことがわかります。$D(f) \leq (Pn(f))^2$

$Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2$

と推測されます。（これは、KushilevitzとNisanによるテキストごとの未解決の問題2.10です。）しかし、私の知る限り、ブール関数のこれら2つの間の最もよく知られた分離は、「The Eyal Kushilevitz、Nathan Linial、およびRafail Ostrovskyによる、通信の複雑さにおける線形配列の推測は誤りです。$Pn(f) = \Theta(D(f))$

より正確には、それらはD （f ）≥ （2 − o （1 ））P n （f ）などの無限関数のブール関数を示します。$f$$D(f) \geq (2 - o(1)) Pn(f)$

質問：

非ブール関数のとD （f ）の最もよく知られた分離は何ですか？上記のファクター2分離のままですか？$Pn(f)$$D(f)$

v2で追加：1週間以内に回答を受け取っていないので、部分的な回答、推測、伝聞、逸話的な証拠なども聞きたいです。

この質問は解決されました！私が言ったように、それは知られていました

、$Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2$

しかし、またはP n （f ）= o （D （f ））の関数が存在することを示すことは大きな未解決の問題でした。$Pn(f) = \Theta(D(f))$$Pn(f) = o(D(f))$

数日前、これはミカ・ゴス、トニアン・ピタッシ、トーマス・ワトソン（http://eccc.hpi-web.de/report/2015/050/）によって解決されました。彼らは、を満たす関数が存在することを示します$f$

。$Pn(f) = \tilde{O}((D(f))^{2/3})$

また、片側バージョンの最適な結果を示します。これは、P n 1（f ）で表します。ここでは、1入力を長方形でカバーするだけです。P n 1（f ）はまた、 $Pn(f)$$Pn_1(f)$$Pn_1(f)$

、$Pn_1(f) \leq D(f) \leq (Pn_1(f))^2$

そして彼らは、彼らが機能を発揮するので、これは、2回の測定値の間で可能な限り最高の関係であることを示しているこれを満たします$f$

。$Pn_1(f) = \tilde{O}((D(f))^{1/2})$

$Pn(f)$$Pn(f)$

$Pn(f)$$D(f)$

残りの部分では、これらのコメントをより正確にします。

KN（1997年の教科書のKushilevitzとNisan）は、ブール関数の3つの基本的なテクニックの概要を説明しています。

$S$$z \in \{0,1\}$$f(x,y) = z$$(x,y)\in S$$f \colon X \times Y \to \{0,1\}$$(x_1,y_1),(x_2,y_2) \in X \times Y$$f$$f(x_1,y_1) = f(x_2,y_2)$$f(x_1,y_2) \ne f(x_1,y_1)$$f(x_2,y_1) \ne f(x_1,y_1)$$S \subseteq X \times Y$$f$$S$

$s$$S$$R_s$$R$$S$$R$$S$$S$$n$$1/4$$n$$Pn(f) = n$$O(\log n)$

$a> 0$$Pn(f) \le a\log rk(f)$$f$$D(f) \le (2a\log rk(f))^2$$rk(f)$$|X|+|Y|$$2+\epsilon$$\epsilon > 0$$|X|+|Y|$$c>0$$D(f) \le (\log rk(f))^c$$f$$rk(f)$$f$

同様に、非常に大きな単色の長方形と多くの小さな長方形が1つしかない場合、パーティション番号は最大の単色の長方形の対数サイズよりも強い境界を与えます。ただし、ログランクの推測は、最大の単色の長方形のサイズに関する推測と同等です（Nisan and Wigderson 1995、doi：10.1007 / BF01192527、Theorem 2）。したがって、単色の長方形を使用することは、パーティション番号を使用することと「同じ」ことは現在知られていませんが、ログランクの推測が成り立つ場合、それらは密接に関連しています。

要約すると、最大の弱いだまされているセットのログサイズは、パーティション番号より指数関数的に小さいかもしれません。他の下限の手法とパーティション番号の間にはギャップがあるかもしれませんが、ログランクの推測が成り立つ場合、これらのギャップは小さくなります。

（カーディナリティーの）通常の概念を拡張するサイズの概念を使用することにより、単色の長方形のサイズを使用して、だまされているセットを一般化し、通信の複雑さの下限を設定できます（KN 1.24を参照）。単色の長方形の一般化された最大の「サイズ」が、通信の複雑さにどれだけ近いのかはわかりません。

$D(f)$$\log rk(f)$$f$$\log n$$3^n$$D(f) \ge Pn(f) \ge (2 - \log 3)n > 0.4n$$D(f)$$Pn(f)$$2.5$$Pn(f)$$D(f)$$f$

$Pn(f)$