回路の下限に関するリファレンス

前文

インタラクティブ証明システムとArthur-Merlinプロトコルは、1985年にGoldwasser、Micali、Rackoff、およびBabaiによって導入されました。最初は、前者は後者よりも強力であると考えられていましたが、GoldwasserとSipserは、言語認識に関して）。したがって、この投稿では、2つの概念を同じ意味で使用します。

してみましょうとの対話型証明系認める言語のクラスであるラウンドを。Babaiはことを証明しました。（相対化可能な結果。）K I P [ O （1 ）] ⊆ Π P $IP[k]$$k$$IP[O(1)] \subseteq \Pi_2^P$

最初は、無制限のラウンド数でIPの能力を高めることができるかどうかはわかりませんでした。特に、相反する相対化があることが示されました。FortnowとSipserは、一部の神託、保持ことを示しまし。（したがって、Aに関連して、IP [poly]はPHのスーパークラスではありません。）$A$$coNP^A \not\subset IP[poly]^A$I P [ p o l y ] P $A$$IP[poly]$$PH$

一方、次の論文：

Aiello, W., Goldwasser, S., and Hastad, J. 1986. On the power of interaction. In Proceedings of the 27th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (October 27 - 29, 1986). SFCS. IEEE Computer Society, Washington, DC, 368-379. DOI= http://dx.doi.org/10.1109/SFCS.1986.36

一部のOracle $B$について、$IP[poly]^B \not\subset PH^B$ます。（したがって、上記のようにIP [poly] ^ B \ neq IP [O（1）] ^ B なので$IP[poly]^B \neq IP[O(1)]^B$、後者は\ Pi_2 ^ {P、B}のサブクラスです$\Pi_2^{P,B}$。）

質問

Aiello、Goldwaseer、およびHastad（上記で引用）による論文は次のように述べています。

使用される技術は、[FSS]、[Y]、および[H1]で使用される小さな深さの回路の下限を証明するための技術の拡張です。

ここで、[FSS]、[Y]、および[H1]は次のとおりです。

[FSS] Furst M., Saxe J. and Sipser M., "Parity, Circuits, and the Polynomial Time Hierarchy," Proceedings 22nd Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 1981, 260-270.

[Y] Yao A. "Separating the Polynomial-Time Hierarchy by Oracles," Proceedings of 6th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 1985, 1-10.

[H1] Hastad J. "Almost optimal lower bounds for small depth circuits," Proceedings of 18th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 1986, 6-20.

私は論文が非常に古く、非常に理解しにくいと感じました。Arora＆Barakの本の第14章を読みましたが、どうやら必要なものがすべて網羅されていないようです。

「Circuit Lower Bounds」に関する参考文献は何ですか？

（調査のような参照が特に必要です。新しいもので、専門知識をあまり必要としないものがより望ましいです。）

PARITY関数を計算する回路の指数下限を理解するための参考資料が必要です。$AC^0$

証拠を実際に理解したいか、単に高レベルで物事を理解したいか、調査記事が物事を説明する方法については述べていません。

私が最近読んで気に入った調査記事は、ボッパナとシプ​​サーによる「有限関数の複雑さ」です。

本当に座って証明を理解したい場合は、スイッチング補題（引用した論文-[FSS]、[Y]、[H1]に表示されます）、またはRazborov-Smolenskyに基づいた証明を読むことができます。証明。

スイッチング補題を使用した証明については、Håstadの博士号。あなたがその地域に慣れていない場合、従うのが少し難しい場合、論文は良い読み物です。証明のより良い説明は、アラン・ヘイドンによる「回路の複雑さの紹介とHåstadの証明のガイド」です。唯一の問題は、オンラインで見つけられず、ハードコピーを持っていることです。回路の複雑さに慣れていないなら、本当にお勧めです。

Razborov-Smolenskyアプローチの場合は、グーグルで検索してください。たくさんの講義ノートがあります。これらの3つの講義ノートから下限を理解しました：Sanjeev Arora、Madhu Sudan、Kristo ff er Arnsfelt Hansen。

あなたが従うことが難しいHastadの論文に切り替え補題の博覧会を見つけた場合、あなたはポールBeameの試みることができる「``スイッチング補題」プライマーを、原因も明示的に決定木を使用していますRazborov（、非常に重要である何かに異なるバージョンを持っていますスイッチング補題の一部のアプリケーションで）

この本は、アクセスできる場合、下限を説明するのに最適です。

Heribert Vollmerによる回路の複雑さの紹介。

読み終えたばかりですが、「紹介」は回路の複雑さに関する非常に深い扱いです。第3章で回路の下限を証明するためのすべての（最も一般的な）テクニックを詳細に説明します。

最近の参考文献は、Stasys Juknaによるブール関数の複雑さです。ドラフトのPDFを取得するには、彼にメールを落とすか、フォームに入力するだけです。

古いが、まだ素晴らしい参考文献は、ボッパナとシプ​​サーによる調査「有限関数の複雑さ」です。この調査は、他のソースと比較して非常に読みやすいです。

もう1つの参考資料は、Clote and Kranakis 著のBoolean Functions and Computation Modelsという本です。

私は専門家ではありませんが、おそらくブルーブック（http://eccc.hpi-web.de/static/books/The_Complexity_of_Boolean_Functions/）には興味深い情報があります。

1997年にはAllenderによる論文もあります。新世紀の夜明け前のサーキットの複雑さ

エマニュエル・ヴィオラは、回路の下限に関する多くの結果を含む「小深度計算の力について」という本を出版しました。

本の予備版はここで見つけることができます。