下限を生成するMulmuley-Sohoniの幾何学的アプローチは、（Razborov-Rudichの意味で）自然な証明の生成をどのように回避しますか？

タイトルの正確な表現は、Anand Kulkarni（このサイトの作成を提案した人）によるものです。この質問は質問の例として尋ねられましたが、私は非常に興味があります。私は代数幾何学についてほとんど知らず、実際にはP / poly対NPの質問で遊びにある障害について大雑把な学部生の理解しかありません。

代数幾何学がこれらの種類の障害を回避できるように見えるのはなぜですか？フィールドエキスパートの直観だけなのか、それとも以前のアプローチよりも根本的に強力なアプローチであると信じるに十分な理由があるのでしょうか。このアプローチはどのような弱い結果を達成できましたか？

[タイトルで述べられているように質問に答え、GCTに関する他の質問の連なりを他のスレッドに残します。] GCTで生じる推測を証明することは、検討中の機能（決定的および永続的、およびP / polyおよびNPの他の関連多項式）は、対称性によって特徴付けられます。この必要性は正式な結果ではなく、複数の専門家によって表明された直感です。（基本的に、対称性による特徴付けがない場合、代数幾何学と表現理論を理解することははるかに難しいことです。）

対称性を特徴とする関数はほとんどないため、Razborov-Rudichをバイパスする必要があります（自然証明の定義で大規模条件をバイパスします）。繰り返しになりますが、私はこれの証拠を見ていませんが、それは私が聞いたいくつかの専門家によって表明された直感です。

さて、複素数については、Razborov-Rudichの類似体があるかどうかは明確ではありません。GCTのほとんどは現在、複素数に焦点を当てていますが、有限の特性にはアナログがあります（近々発表されるGCT VIIIで約束されています）。有限の特性では、「対称性によって特徴づけられる関数はごくわずかです」という形式のステートメントを実際に証明できる場合があります。

[ロス・スナイダーのコメントに応えて、対称性による特徴付けの説明を以下に示します。]

まず、例による説明。この例では、補助関数定義します。場合Aは次に順列行列であり、Q （A ）= 1とならばAは、その後、対角であるQ （A ）= D 、E T （A ）（対角要素の積）。ここで、p （X ）がn 2変数の均一次数n多項式であると仮定します（n × n行列Xの全体として考えます）$q$$A$$q(A)=1$$A$$q(A)=det(A)$$p(X)$$n$$n^2$$n \times n$$X$）。に次の対称性がある場合：$p$

• （転置）$p(X) = p(X^t)$
• 行列のすべてのペア（A 、B ）で、 Aと Bはそれぞれ置換行列または対角行列であり、 q （A ）q （B ）= $p(AXB) = p(X)$$(A,B)$$A$$B$$q(A)q(B) = 1$

その後の定数倍であるP E R M （X ）のすべてのための行列Xを。したがって、パーマネントはその対称性によって特徴付けられると言います。$p(X)$$perm(X)$$X$

我々は、（均質）多項式ている場合、より一般的には、にm個の変数は、G LとM（すべての群可逆M × M行列）が作用するFによって（F ）（X 1、。。。、のx M）= F （A - 1（X 1）$f(x_1, ..., x_m)$$m$$GL_m$$m \times m$$f$のための A ∈ G LのM我々は変数取っている（ X 1、。。。、XのMの基礎として Mた次元ベクトル空間 G LとMは自然に作用します）。安定剤 Fにおける G LとMはサブグループであるスタブ（F ）= { A ∈ $(Af)(x_1,...,x_m) = f(A^{-1}(x_1),...,A^{-1}(x_{m}))$$A \in GL_m$$x_1,...,x_m$$m$$GL_m$$f$$GL_m$。我々は言う fは以下に保持している場合、その対称性によって特徴付けられる：任意均質多項式のための F 'でのMと同程度の変数 F、もし F ' = F 'のすべてのための A ∈ スタブ（F ）、次いで、 F 'のA fの定数倍。$\text{Stab}(f) = \{ A \in GL_m : Af = f\}$$f$$f'$$m$$f$$Af' = f'$$A \in \text{Stab}(f)$$f'$$f$

Joshua Grochowの答えは良いものですが、もっと一般的なコメントをする価値があると思います。Razborov-Rudichの結果は、ブール関数がにないことを証明したい場合、暗号化仮説を信じると仮定すると、計算するのが自明ではない関数のプロパティを使用するか、少数の他のブール関数でのみ共有されています。実際には、適切なプロパティを見つけるのは簡単ではありません。しかし、Razborov-Rudichの観測は、意図された証拠に関する具体的な詳細がないため、実際には回路の下限に対する攻撃の多くの一般的な計画を除外していません。たとえば、証明する計画を単純に言ったとします$P/poly$示す関与その S A $NP\not\subseteq P/poly$ Iがあるという事実を使用することを意図し、その S A Tである N Pの -completeを。この素朴な「攻撃の計画では、」ほとんどのコンテンツは無料ですが、ためRazborov-Rudichは、それを排除しない N $SAT\notin P/poly$$SAT$$NP$$NP$性は大きな特性ではない。

別の言い方をすると、Razborov-Rudichは通常、最終的に「特別なプロパティ」を使用するための計画の余地を残している限り、サーキットの下限に対する攻撃ラインを計画する初期段階で多くの障害を提示しません。ブール関数の候補。帰化障壁が真剣に頭をもたげ始めるのは、袖をまくり上げて議論の詳細を記入しようとしたときだけです。GCTはまだ開発の初期段階にあるため、帰化についてはそれほど心配する必要はないはずです（もちろん、GCTプログラムが些細な理由で運命づけられていないことを確認する価値はあります）。

また、チェックアウトすることがケン・リーガンの博覧会帰化障壁に関するいくつかの発言を含んGCTのを、。