回路サイズの階層定理

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回路の複雑さのサイズ階層定理は、この分野の大きなブレークスルーになると思います。

クラス分離への興味深いアプローチですか？

質問の動機は、私たちが言わなければならないことです

サイズの回路では計算できず、サイズの回路で計算できる関数があります。（そしておそらく深さに関する何か） $f(n)$ $g(n)$ $f(n)<o(g(n))$

したがって、場合、プロパティは不自然に見えます（大きさの条件に違反しています）。明らかに、対角化は使用できません。これは、均一な設定になっていないためです。 $f(m)g(n) \leq n^{O(1)}$

この方向に結果はありますか？

— アントニオ・ファ
ソース

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実際にはすべてのために、それを表示することが可能である十分に小さい（未満）、関数は、サイズの回路によって計算ありなく、サイズの回路によって、または許可するゲートのタイプに応じて、になります。 $f$ $2^n/n$ $f(n)$ $f(n)-O(1)$ $f(n)-1$

サイズでは計算できるがサイズ計算できない関数があることを示す簡単な引数を次に示します。 $f(n)$ $f(n)-O(n)$

私達はことを知っています：

少なくとも回路の複雑度、特により大きい回路の複雑度を必要とする関数があります。 $g$ $2^n/O(n)$ $f(n)$
すべての入力に対してであるような関数は、一定サイズの回路で計算可能です。 $z$ $z(x)=0$ $x$
2つの関数とが1つの入力のみで異なる場合、それらの回路の複雑さは最大でだけ異なります $g_1$ $g_2$ $O(n)$

入力でが非ゼロであると仮定します。そのような入力をます。各について、集合のインジケーター関数である関数を考慮することができます。したがって、およびです。 $g$ $N$ $x_1,\ldots,x_N$ $i$ $g_i(x)$ $\{ x_1,\ldots,x_i \}$ $g_0=0$ $g_N=g$

明らかにいくつかあるよう以上回路の複雑さを有すると以下の回路複雑性を有する。ただし、回路の複雑さはより小さいが、より大きい。 $i$ $g_{i+1}$ $f(n)$ $g_i$ $f(n)$ $g_{i}$ $f(n)$ $f(n) - O(n)$

— ルカ・トレビサン
ソース

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サイズ回路ではなく、サイズ回路で計算可能な関数があることの証明はどうなりますか？

f (n)

$f(n)$

f (n) - O (1)

$f(n) - O(1)$

— ウィリアムホザ

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この結果は、単純なカウント引数を使用して証明できます。入力の最初のビットに適用されるランダム関数を考えます。この関数は、ほぼ確実に、RiordanとShannonのカウント引数による回路の複雑さを持ち、上限に一致します。したがって、ピッキングように、我々は、サイズを区別することができるサイズから。問題の関数は必ずしも計算可能でさえないことに注意してください。ただし、標準的な手法で指数関数の時間階層に入れることができます（正しい値を計算できる限り）。もちろん、超える境界を証明することはできません $k$ $(1+o(1))(2^k/k)$ $k$ $2g(n) < 2^k/k < f(n)/2$ $g(n)$ $f(n)$ $k$ $2^n/n$ なぜなら、それはあらゆる機能の最悪の回路の複雑さだからです。

問題のプロパティは「小さな回路を持たない」ため、自然証明はこのタイプの引数には適用されません。これは、関数の真理値表から簡単に計算できないためです（おそらく）。このタイプのカウンティングがどれほど複雑度クラスを低くできるかは明らかではありません。下限を証明するためにカウント引数を使用できない理由はありますか？私が知っていることではありません。 $NE$

— ラッセル・インパリアッツォ
ソース

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直接的な理由はありませんが、既知のすべてのアプローチ（引数のカウントの実装）では、特定の関数の真理値表が回路の複雑度が高いことを最終的に検証する必要があります。この問題のアルゴリズムは、に対する -naturalプロパティを定義します（Steven Rudichの論文の1つによると、そうではないでしょう）。もちろん、この問題を解決することは...不要になります

N E

$NE$

N P / p o l y

$NP/poly$

P / p o l y

$P/poly$

— ライアン・ウィリアムズ