USTCONNが対数空間を必要とすることを証明する方法は？

USTCONNは、グラフのソース頂点からターゲット頂点へのパスがあるかどうかを決定する必要がある問題です。これらのパスはすべて入力の一部として与えられます。 $s$ $t$ $G$

Omer Reingoldは、USTCONNがLにあることを示しました（doi：10.1145 / 1391289.1391291）。この証明は、ジグザグ積によって一定次数のエキスパンダーを構築します。一定次数のエキスパンダーは直径が対数であり、一定数の対数サイズのマーカーを使用してすべての可能なパスを確認できます。

Reingoldの結果は、USTCONNの空間の複雑さの対数上限を与え、論文によると、その空間の複雑さを「一定の係数まで」解決します。論文のどこにも言及されていない、対応する下限に興味があります。

最悪の場合にUSTCONNを決定するには対数空間が必要であることをどのように証明しますか？

編集：入力表現を修正して、基礎となる頂点対称単純有向グラフの隣接行列とし、ビット文字列を形成するために行を連続してリストします。 $N \times N$ $N$ $N^2$

LewisとPapadimitriouは（doi：10.1016 / 0304-3975（82）90058-5）USTCONNはSL完全であり、Reingoldの結果ではSL = Lであることを示しました。：Savitchは（DOI示し10.1016 / S0022-0000（70）80006-Xのこと）。さらに任意の計算可能関数のための $\text{NSPACE}(n) \subseteq \text{DSPACE}(n^2)$ $\text{DSPACE}(f(n)) = \text{DSPACE}(1)$ $f(n) = o(\log\log n)$ Stearns、Hartmanis、およびLewis（doi：10.1109 / FOCS.1965.11）により、USTCONNには少なくともスペースが必要です。最後に、Lより下にあることが知られている通常のクラス（など）は、回路の観点から定義されており、空間限界の観点から定義されたクラスとは明らかに比較できません。 $\Omega(\log\log n)$ $\text{NC}^1$

私が見る限り、これにより、いくつかのに対して、が空間のみを使用するさらに優れた決定論的アルゴリズムが存在する可能性がありまたはUSTCONNに対しても非決定性アルゴリズムを使用すること空間。 $O((\log n)^\delta)$ $\Omega(\log \log n)$ $\delta < 1$ $o((\log n)^{1/2})$

$\text{DSPACE}(o(f(n)) \subsetneq \text{DSPACE}(f(n))$ $f(n)$ $\text{DSPACE}(o(\log n))$

Lに対数空間を必要とする言語がある限り、対数空間の削減よりも厳密に「弱い」条件でUSTCONNがLに対して完全であることを示すと、望ましい下限が得られます。

スペースを必要とする削減の下で、LのUSTCONNは完全ですか？ $o(\log n)$

Immermanは、（doi：10.1137 / 0216051）目的のパス（ただしグラフ自体ではない）が決定論的である有向到達可能性のバージョンが、AC回路で計算可能な1次の削減でLに対して完全であることを示しました。これはおそらく、FO削減のもとでUSTCONNがLに対して完全であることを示すために適応されるかもしれません。ただし、ACは厳密にLに含まれていが、ACは再び回路クラスであり、対数空間でFO削減を実行する方法を知りません。 $^0$ $^0$ $^0$

編集2015-07-14： TMのスペース使用量にインデックスのサイズを入力に含めるかどうかは興味深い哲学的な問題です（したがって、入力へのランダムアクセスを許可しますが、入力のサイズが2倍になると余分なビットが必要です））、またはTMが使用するスペースが、計算中に訪れたワークテープの正方形の数であるかどうか（入力テープヘッドが固定され、入力テープのサイズが2倍になっても変わらないことを前提としています）。以前のRAMスタイルの定義では、すべてのファイルの先頭からのオフセットとしてファイル内の現在位置を追跡する現在のコンピューターをモデル化します。後者の古典的な定義は、現在の入力記号以外のテープについて何も知らない固定読み取りヘッドを備えた紙のようなテープを想定しています。

トーマスによるコメントのようなヒューリスティックな議論は、ビットのスペースで入力をインデックス化することさえ不可能であり、最新のRAMスタイルの定義を仮定しているように見えます。Stearns / Hartmanis / LewisはTMスタイルの定義を使用します。これは、スペースに制限された計算のほとんどの古典的な作業と同じです。 $o(\log n)$

隣接行列として表されるUSTCONNの対数空間の下限は、完全な二乗の単項言語では対数空間を認識する必要があることに注意して証明できます（RūsiņšFreivalds、Models of Computation、Riemann Hypothesis、and Classical Mathematics、SOFSEM 1998、LNCS 1521、89 –106。doi：10.1007 / 3-540-49477-4_6（プレプリント））。その後、同じ下限が隣接行列表現のUSTCONNに適用されます。これはおそらくカンニングすぎです：通常、promise問題でpromiseを強制することは、実際の問題と比較して簡単にすることを意味しますが、ここでは、入力が既に下限であるという約束を強制します。したがって、入力が言語からのものであることが保証されているpromise問題の対数空間下限の引数を見るといいでしょう。 $\{\{0,1\}^{N \times N} \mid N=1,2,\dots\}$

— アンドラス・サラモン
ソース

「（だから少なくとも... UStCONNにはスペースが必要です」という結論は、そのようなが行う関数があるため、その文の残りの部分からは続きません。存在しない。

o (\log (\log (n)))

$o(\log(\log(n)))$

δ

$\delta$

$\;$

入力表現は重要になりスペースでは、入力内の任意の場所を指定またはアクセスできないためです。どの入力表現を使用していますか？USTCONNが非決定論的な準対数空間にあることを示すことさえできますか？

o (\log n)

$o(\log n)$

— トーマスはモニカをサポートします

FO = LTH = DLogTime均一AC ^ 0

— Kaveh

これは非常に詳細で素晴らしいですが、これを「公式に知られている/認められている未解決の問題」と既知の完全な問題（後者のいくつかを参照してください。 ...そして、seはそのための適切なフォーマットではないことに注意してください。このサイトのfyi SJは、「低レベル」STConnの下限とUSTConnとの相互関係を研究しました。ofcは非常に自然なつながりがあるようです

— -vzn

時間空間の下限を証明する通信の複雑さのテクニックが役立つ場合があります：空間がより小さい場合、時間はより小さいので、空間時間は未満です。どういうわけか時空のを取り除き、スペースがより小さい場合、時間スペースがより小さいかどうかを表示できますか？

\log n

$\log n$

n^{2}

$n^2$

n^{2} \log n

$n^2 \log n$

\log n

$\log n$

\log n

$\log n$

n^{2}

$n^2$

— カベ

紙カウンティング数量詞、後継関係と対数空間 Kousha Etessamiによっては、証明という問題本質的にチェックされる（もし頂点先行A頂点出次数1つのグラフでパスであることが約束され、）は -量指定子のない射影の下でハードです。 $\mathbf{ORD}$ $s$ $t$ $G$ $\mathsf{L}$

問題問題を低減するために見ることができるによって、インスタンスを考える：-reductionsのだけ削除外端他のエッジと出力無向エッジとしてかどうかである質問得られたグラフに接続されています。（注：削減はおそらくさらに細かくすることができます。） $\mathbf{ORD}$ $\mathbf{USTCONN}$ $\mathsf{FO}$ $\langle G,s,t\rangle$ $\mathbf{ORD}$ $t$ $u \rightarrow v$ $\{u,v\}$ $\mathbf{USTCONN}$ $s,t$

— サミD
ソース

ありがとう！これは、USTCONNのL完全性についての私の最終コメントの精緻化のようです。しかし、ORDからの削減が対数空間で行えるかどうかは明らかではないため、USTCONNには少なくとも対数空間が実際に必要であることを示すという主要な質問には答えていないようです。私は何が欠けていますか？

— アンドラスサラモン

@AndrasSalamon：入力表現についてのトーマスの質問がありません。たとえそれがあなたが今尋ねた質問に対処していなくてもです。

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