L_k-distinctの最小NFAのサイズの限界

2つの文字が等しくないように、上のすべての文字の文字列で構成される言語考えます。 $L_{k-distinct}$ $k$ $\Sigma$

L k - d i s t i n c t : = {w = σ 1 σ 2 . . . σ k ∣ \forall i \in [k] : σ i \in Σ and \forall j \neq i : σ j \neq σ i}

$L_{k-distinct} :=\{w = \sigma_1\sigma_2...\sigma_k \mid \forall i\in[k]: \sigma_i\in\Sigma ~\text{ and }~ \forall j\ne i: \sigma_j\ne\sigma_i \}$

この言語は有限であり、したがって規則的です。具体的には、場合、。 $\left|\Sigma\right|=n$ $\left|L_{k-distinct}\right| = \binom{n}{k} k!$

この言語を受け入れる最小の非決定性有限オートマトンとは何ですか？

現在、次の緩やかな上限と下限があります。

構築できる最小のNFAには、 $4^{k(1+o(1))}\cdot polylog(n)$ 状態があります。
次の補題は、 $2^k$ 状態の下限を示しています。

してみましょう $L ⊆ Σ^*$ 正規言語であること。あると仮定 $n$ 対 $P = \{ (x_i, w_i) \mid 1 ≤ i ≤ n \}$ よう $x_i\cdot w_j \in L$ 場合にのみ $i=j$ 。次に、Lを受け入れるNFAには少なくともn個の状態があります。

別の（簡単な）下限は $log$ $n\choose k$ 。これは、言語の最小DFAのサイズのログです。

また、オートマトンのサイズが）より小さい場合、固定分数（ $0<\epsilon<1$ ）のみを受け入れるNFAにも興味があります。。 $L_{k-distinct}$ $\epsilon\cdot 4^{k(1+o(1))}\cdot polylog (n)$

編集：私はちょうどテキストに間違いがあった賞金を始めました。

私はを書いている間に $k=polylog(n)$ を仮定することを意味しました。 $k=O(log(n))$

編集2：

賞金は間もなく終了するため、誰かがそれを獲得するより簡単な方法に興味がある場合は、次の言語を検討してください。

$L_{(r,k)-distinct} :=\{w : w$ 含ま $k$ の異なるシンボルを及びNOシンボルが複数表示されない $r$ 回 $\}$ 。

（つまり、 $L_{(1,k)-distinct} = L_{k-distinct}$ ）。

コメントの構造と同様の構造は、 $O(e^k\cdot 2^{k\cdot log(1+r)}\cdot poly(n))$ サイズのオートマトンを $L_{(r,k)-distinct}$ 。

これは改善できますか？この言語で表示できる最高の下限は何ですか？

— RB
ソース

上限NFAを説明できますか？

— mjqxxxx 14年

私たちはまだ取り組んでおり、証拠を完成していないので、私はまだそれについて書くことができません。代わりに、サイズはるかに単純なオートマトンについて説明します：完全なハッシュファミリー。そのようなハッシュはすべて関数です。これは、サイズが最大ののすべてのサブセットに対して、サブセットのすべてのアイテムを異なる数にマッピングする関数が存在することを意味します。ハッシュ後、結果のアルファベットは文字になります。したがって、サイズ自動言語は言語を受け入れることができます。

O((2e)k∗2O(log(k))∗log(n)) $O((2e)^k * 2^{O(log(k))} * log(n))$

(n,k) $(n,k)$

H $H$

h:[n]→[k] $h: [n] \to [k]$

[n] $[n]$

k $k$

h∈H $h\in H$

k $k$

2k $2^k$

Lk−distinct $L_{k-distinct}$

— RB 14年

下限はを与え、ちょうどステップ後にNFAが存在できる状態の数をカウントします。私は、いくつかのに対してステップ後に何が起こるかを見るだけで得られるものよりも、合計サイズの有意に良い境界を与える証明方法を知っているとは思わない。しかし、ここでは、ごとに、正確に状態の後、状態のいずれか1つにしかなれないNFAがあります。

(2−o(1))k $(2-o(1))^k$

k/2 $k/2$

t $t$

(2+o(1))k $(2+o(1))^k$

t $t$

— ノーム14年

証明（以前の主張）：最も難しいケースはです。選択異なるランダムサブセット（の正確にサイズのアルファベット記号）それぞれ、それぞれの状態を有するNFA構築最初ときに限り、それにつながるいくつかのパスとをシンボルはすべて異なり、に含まれ、後続のシンボルがすべて異なり、の補数に含まれている場合、そこからの受け入れパスがあり。カウント引数は、ランダムな選択を介して（そのWHPが表示されます

t=k/2 $t=k/2$

2k⋅poly(k,logn) $2^k \cdot poly(k, \log n)$

Si $S_i$

n $n$

t $t$

i $i$

t $t$

Si $S_i$

k−t $k-t$

Si $S_i$

Si $S_i$ 's）このNFAは実際にすべての希望する言語を受け入れます。

— ノーム14年

前の構成では、NFAを構築する最も簡単な方法は、長さ可能な各プレフィックスと、長さ可能な各サフィックスの状態を持ちます。代わりに、NFAのプレフィックス部分とサフィックス部分は、同じランダム化構造を使用して再帰的に構築できます（ただし、現在はそれぞれとその補数内でのみ）。これにより、合計サイズはます。

j<t $j < t$

j>k−t $j > k-t$

Si $S_i$

(4+o(1))k $(4+o(1))^k$

— ノーム14年

回答:

これは答えではなく、改善された下限に任せると思われる方法です。後に、私たちが問題をカットしてみましょう文字が読み込まれます。意味のファミリーの要素組によっておよびファミリーの要素組によって。がの要素を（任意の順序で）読み取った後に到達できる状態、およびがの要素を（任意の順序で）読み取った後に受け入れ状態に到達できる状態を示します。私たちは、必要とする場合にのみ、 $a$ $a$ $[n]$ $\mathcal A$ $b=k-a$ $[n]$ $\mathcal B$ $A$ $S_A$ $B$ $T_B$ $S_A\cap T_B\ne \emptyset$ $A\cap B=\emptyset$ 。これにより、必要な州の数の下限がすでに与えられており、自明ではない何かを与えることができると思います。

この問題は本質的に、折れ線グラフが（部分的に）既知であるハイパーグラフの頂点の数の下限を求めます。同様の問題は、たとえばボロバによって研究され、有用である可能性のあるいくつかの既知の証明方法があります。

更新2014.03.24：実際、上記のハイパーグラフを頂点で実現できる場合、サイズと入力セット（実際には2つのセット）を使用した長さ非決定的通信複雑度プロトコルも取得し問題は同等です）。もちろん、ボトルネックはときです。これについては、Eyal and Noamの本で次のものしか見つけることができませんでした：は、標準の確率論的議論によって証明されています。残念ながら、この問題の十分な下限を（まだ）見つけることができませんでしたが、上記が鋭いと仮定すると、下限 $s$ $\log s$ $a$ $b$ $a=b=k/2$ $N^1(DISJ_a)\le \log \big(2^k \log_e {n\choose a}\big)$ $\Omega(2^k\log n)$ 言及した2つの下限を統合します。

— domotorp
ソース

あなたの答えを@domotorpに感謝します。これは、元の質問の下限に使用した補題の証明に非常に似ていますが、実際の

および

を指定せず、したがって可算範囲ではありません。上記の質問に対するあなたのコメントは、

限界はその方法では改善できないことを示唆していますが、これはもっと良くなると思いますか？xi $x_i$

yi $y_i$

2k $2^k$

— RB 14年

上記の私のコメントの要点は、これらの手法では

上下限を与えられないということでした。これが本当にこの問題を私にとって興味深いものにしているのです。(2+o(1))k $(2+o(1))^k$

— ノーム14年

@Noam：k = 2、a = b = 1とします。すべての

は異なる必要があるため、すでに

下限を取得してい

。logn $\log n$

SA $S_A$

— domotorp 14年

@domotorp：

隠し

因子：ここでは、最悪の場合の分析である

：固定とスタート

と

とのランダムAのサブセットでピック

の

文字が、その後、私たちは持ってい

o(1) $o(1)$

O(klogn) $O(k\log n)$

a=b=k/2 $a=b=k/2$

$A$

$B$

$S$

$n$

。今ピック

のランダムにそのようなセットは、それらの少なくとも一方のためにこれが起こる確率は

。私たちが選択した場合

$Pr[A \subseteq S \:and\: B \subseteq S^c]=2^{-k}$

$r2^k$

$1-exp(-r)$

この場合、すべての素集合

および

（サイズ

）の場合、これがwhpであることがわかります。この構造におけるそのような

の総数は

です。 $r = O(\log {n \choose k}) = O(k \log n)$

$A$

$B$

$k/2$

$S$

$O(2^k k \log n)$

— ノーム14年

@Noam：私は申し訳ありませんが、私は見たことがない

に隠された

の問題はまたのための興味深い私見です特にとして、

。しかし、あなたはRBが

について尋ねたことは正しいです。 $\log n$

$o(1)$

$k<<\log n$

$k=polylog n$

— domotorp

進行中のいくつかの作業：

下限を証明しようとしています。最小見つける：ここで私は、このような下界Aを与えるだろうかなり確信しているという問題であるの関数が存在するように、そのジャム互いに素、すなわちその IFF $4^k$ $t$ $f:\{S \subseteq [n], |S|=k/2 \} \rightarrow \{0,1\}^t$ $S_1 \cap S_2 = \emptyset$ 。私はかなり確信しての下限てるほとんどすぐ下の下限暗示する私たちの問題のために。は、これらのシンボルのセットがである場合、NFAが入力の最初のシンボルを読み取った後に到達できるノードのセットにほぼ対応します。 $f(S_1) \cap f(S_2) = \emptyset$ $t \ge 2k$ $2^{2k}=4k$ $f(S)$ $k/2$ $k/2$ $S$

この問題の解決策は、通信の複雑さに関する文献（特に、互いに素な問題を扱う論文で、おそらく行列ランクの引数が役立つかもしれません）、またはエンコーディングに関する文献（例えば、このような）で既に知られていると思います。

— メビウス団子
ソース

上記の私のコメントは、このアプローチは

破ることができないことを示しています $(2+o(1))^n$

— ノーム14年