行列式と永続の下限

深さ3での最近のキャズムの結果（特に、上の行列式に対する深さ3演算回路を生成します）、次の質問があります：グリゴリエフとカルピンスキーは、有限体上の行列の行列式を計算する深さ3算術回路の下限を証明しました（これは推測しますが、恒久的にも保持されます）。パーサーを計算するためのライザーの式は、サイズ深さ3の算術回路を与えます $2^{\sqrt{n}\log{n}}$ $n \times n$ $\mathbb{C}$ $2^{\Omega{(n)}}$ $n \times n$ $O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}$ 。これは、結果が本質的に有限フィールド上のパーマネントの深さ3回路に対して厳密であることを示しています。2つの質問があります。

1）パーサーのRyserの式に類似した行列式の深さ3の式はありますか？

2）決定多項式\ textit {always}を計算する算術回路のサイズの下限は、恒久多項式の下限になりますか？（それらは同じ多項式です）。 $\mathbb{F}_2$

私の質問は現在、有限体上のこれらの多項式に関するものですが、任意の体上のこれらの質問の状態も知りたいです。

— ニヒル
ソース

面白いこと....最近（eccc.hpi-web.de/report/2013/026）上限は複素数にわたって証明されています。だから、そこ特性ゼロと有限体に大きな違いは何とかです...

2^{O (n^{1 / 2} \log n})

$2^{O(n^{1/2}\log n})$

— ライアン・ウィリアムズ

新しい結果について言及すべきでした。私は論文を読んでいて、有限場の場合の既知の結果から何が推測できるかを知りたかった。論文を含めるように質問を更新します。

— ニキル

特性ゼロのフィールド上に深さ3の回路がある場合に、行列式/恒久性で知られている同様の/下限がありますか？

— ゴラヴジンダル14

特性ゼロAFAIKでは、ShpilkaとWigdersonによる初等対称関数（および行列式多項式）の最適な下限はです。チェックcs.technion.ac.il/~shpilka/publications/...

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— ニキル

回答:

特性2以外のフィールド上のp射影下でのVNPの永続性は完全です。これにより、2番目の質問に対する肯定的な答えが得られます。この削減が線形であれば、最初の質問に対して肯定的な答えが得られますが、それは未解決のままです。

より詳細には、が投影であるような多項式があります。つまり、各変数変数に送信する特定の置換があります。または、この置換後にパーマネントが行列式を計算するような定数。 $q(n)$ $det_n(X)$ $perm_{q(n)}(Y)$ $y_{ij}$ $x_{k\ell}$ $q(n) \times q(n)$ $n \times n$

1）したがって、Ryserの式は、行列式のサイズ深さ3の式（投影では入力ゲートで置換を行うことができるため、深さは増加しません）を生成します。 UPDATE：として@Ramprasadはコメントで指摘し、これが唯一の場合は自明でない何か与え、些細な深さはサイズの2式があるので、 for det。Ramprasadと一緒にいるのは、ABPを介した削減であり、です。 $2^{O(q(n))}$ $q(n) = o(n \log n)$ $n \cdot n! = 2^{O(n \log n)}$ $q(n)=O(n^3)$

2）場合を計算することができる永久-再度、特性ではない2のいくつかのフィールドにわたって-サイズの回路によって、その後、行列式は、サイズの回路によって計算することができ。したがって、回線サイズのの下限は、パーマネント（ではなく逆数回線サイズの下限にます。）。上記のは、 det下限から perm下限を生成します。 $m \times m$ $s(m)$ $n \times n$ $s(q(n))$ $b(n)$ $det_n$ $b(q^{-1}(n))$ $q$ $1/q(n)$ $q(n)=O(n^3)$ $b(n^{1/3})$ $b(n)$

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

多項式的に大きなパーマネントの射影である行列式はあまり得られないことを指摘したいだけです。もちろん、行列式は取るに足らないサイズの回路。したがって、行列式がパーマネントの射影であることを示しても、Ryserの式を介して重要なことは何も生じません。あなたの証明戦略のために、であることを示す必要があると思いますが、通常の削減からこれを得る方法はわかりません。知る限り、より漸近的に小さい深度3回路はありません有限体上の行列式で知られています。

n!

$n!$

n \times n

$n\times n$

n^{2} \times n^{2}

$n^2\times n^2$

q (n) = O (n)

$q(n) = O(n)$

n!

$n!$

— ランプラサド

D E T_{n}

$DET_n$

P E R M_{O (n)}

$PERM_{O(n)}$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n)

$O(n)$

n!

$n!$

チャットでこの議論を続け

— ランプラサッド

決定要因は、ある意味では、パーマネントよりも難しい可能性が非常に高いです。これらは両方とも多項式であり、パーマネントのWaringランク（線形形式のn乗の合計）は約4 ^ n、Chowランク（線形形式の積の合計）は約2 ^ nです。明らかに、ウォーリングランク\ leq 2 ^ {n-1}チョウランク。行列式の場合、これらの数値は下限です。一方、行列式のWaringランクは（n + 1）によって上限があることを少し前に証明しました！これは真実に近いかもしれません。

— しし座流星群
ソース

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— ジェフ

証拠の参照をお願いできますか？

— カベ