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近似アルゴリズムに関する質問。

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線形比較による近似1d TSP？
1次元の巡回セールスマンパス問題は、明らかに、並べ替えと同じことなので、時間で比較することで正確に解決できますが、近似だけでなく正確にも定式化されますソリューションは理にかなっています。入力が実数であり、整数への丸めが可能な計算モデルでは、任意の定数について、時間因子内に近似するのは簡単です。：最小値と最大値を見つけ、元の値から距離以内の数値にすべてを丸めてから、基数ソートを使用します。しかし、丸めのあるモデルには複雑な理論があるため、計算の弱いモデルについてはどうでしょうか？O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log n)1+O(n−c)1+O(n−c)1+O(n^{-c})cccO(n)O(n)O(n)(max−min)n−(c+1)(max−min)n−(c+1)(\max-\min)n^{-(c+1)} そのため、計算の線形比較ツリーモデル（各比較ノードは入力値の線形関数の符号をテスト）で、時間の複雑度がo（n \ logであるアルゴリズムによって、1次元TSPをどれだけ正確に近似できるかn）o(nlogn)o(nlog⁡n)o(n\log n)？同じ丸め方法により、n ^ {1-o（1）}の形式の近似比をn1−o(1)n1−o(1)n^{1-o(1)}実現できます（バイナリ検索を使用して丸めを行い、より粗く丸めて十分に高速化する）。しかし、いくつかの\ epsilon> 0に対してO（n ^ {1- \ epsilon}）のような近似比を達成することは可能ですか？O(n1−ϵ)O(n1−ϵ)O(n^{1-\epsilon})ϵ>0ϵ>0\epsilon>0
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近似アルゴリズムの理論的応用
最近、NP困難問題の近似アルゴリズムの調査を開始し、それらを研究する理論的理由について疑問に思っていました。（質問は炎症を起こすことを意図していません-私は単に好奇心が強いです）。 近似アルゴリズムの研究からいくつかの本当に美しい理論が出てきました-PCP定理と近似の硬さの間の関係、UGC予想、ゴーマン-ウィリアムソン近似アルゴリズムなど。 トラベリングセールスマン、非対称トラベリングセールスマン、その他のバリエーション、メカニズム設計のさまざまな問題（組み合わせオークションなど）の問題の近似アルゴリズムを研究するポイントについては疑問に思っていました。過去に、または彼ら自身のために純粋に研究されていますか？ 注：現実の世界では、近似アルゴリズムではなくヒューリスティックが適用されることを知っている限り、実用的なアプリケーションについては尋ねません。ヒューリスティックは、近似アルゴリズムを研究することによって得られる洞察によってほとんど通知されません。問題。
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線形プログラムのおおよその解決のための最良の可能な時間/エラーのトレードオフは何ですか？
具体的には、各プレーヤーがアクションを持つ2人のプレーヤーのゼロサムゲームを解決するためのLPを検討してください。ペイオフマトリックスAの各エントリの絶対値が最大1であるとします。簡単にするために、スパース性を仮定しません。nnnAAA このゲームの価値を概算するためにランタイムが利用できるとします。TTT この値を近似するための1つの手法は、乗法的更新法です（このコンテキストでは後悔のない学習として知られています）。これは、エラーの与え、ここで、〜Oの皮は、因子をログ。O~(n/T−−−−√)O~(n/T)\tilde O(\sqrt{n/T})O~O~\tilde O 最もよく知られている内点法のエラーランドスケープがどのようなものか正確にはわかりませんが、エラーはようなものだと推測しています。O （exp（− T/ n3））O(exp⁡(−T/n3))O(\exp(-T/n^3)) 乗法更新法は逆多項式であるエラーを与えます。内点法は、Tで指数関数的に小さいエラーを与えます。したがって、2つの最良のエラーは、内部ポイントが追いつくまでしばらくの間徐々に減少し、その後、エラーは突然崖から落ちます。私の本能は、このように振る舞う可能な限り最良の時間/エラーのトレードオフに反しています。TTTTTT 私の質問： 時間/エラーのトレードオフ曲線の角を滑らかにする近似線形計画法のアルゴリズムはありますか？つまり、利用可能な時間パラメータの任意の値に対して少なくとも2つのうちの最高の機能を実行し、時間とエラーのトレードオフが比較的スムーズなアルゴリズムです。内点法と乗法更新法を組み合わせるよりインテリジェントな方法は、2つのうちのどちらかを採用するよりも、このようなアルゴリズムを取得する方法の1つです。 参考文献： 一般的な乗法的更新： http://www.cs.princeton.edu/~arora/pubs/MWsurvey.pdf ゼロサムゲームの乗法更新： http://dx.doi.org/10.1016/0167-6377(95)00032-0 LPをカバー/パッキングするための乗法的更新： http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0801/0801.1987v1.pdf オリジナルのインテリアポイントペーパー： http://math.stanford.edu/~lekheng/courses/302/classics/karmarkar.pdf 適用された数学の観点からの内点： Bertsekasの非線形計画法、セクション4.1.1。
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計算可能な数が有理数か整数かをテストすることはできますか？
計算可能な数が有理数か整数かをアルゴリズムでテストすることはできますか？言い換えれば、それは道具計算数字は機能を提供するために、そのライブラリは可能でしょうisIntegerかisRational？ 私はそれが不可能であると推測し、これは何らかの形で2つの数値が等しいかどうかをテストすることができないという事実に関連していると推測していますが、それを証明する方法はわかりません。 編集：計算数はxxxの関数で与えられるfx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)の合理的な近似値を返すことができxxx高精度でϵϵ\epsilon：|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonいずれについても、ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0。このような関数を考えると、それがあれば、テストすることが可能であるx∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}またはx∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}？
18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 
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積分ギャップと近似比
最小化問題の近似アルゴリズムを考慮すると、この問題のIP定式化の積分ギャップは、特定のクラスのアルゴリズム（丸めアルゴリズムや主双対アルゴリズムなど）の近似比の下限を与えます。実際、最適な近似比が積分ギャップに一致する問題が数多くあります。 アルゴリズムによっては、問題の積分ギャップよりも優れた近似比を持つ場合がありますが、そのような例が存在するかどうかはわかりません。答えが「はい」の場合、いくつか例を挙げていただけますか？ いくつかの問題が複数の数学的定式化を認めることを知っています。このような場合、多項式時間で解くことができる限り、最小の積分ギャップを持つ数学的定式化を検討してください（おそらく、いくつかの定式化は分離オラクルを使用するかもしれません）。 この質問は[質問：積分ギャップの重要性]に関連しています。
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一般的なグラフで単純な
指定された開始頂点から指定された終了頂点tまでの有向グラフの単純なパスの数を近似するためのいくつかの良い多項式時間アルゴリズムがあると言われました。誰もがこの主題に関する良い参考資料を知っていますか？sssttt 背景：一般的なグラフでパスの正確な数を数えることは#P完全ですが、問題の多項式時間近似が存在する場合があります。特にランダム近似に興味があります。 前もって感謝します。
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2D長方形の色付け問題の定数因子近似アルゴリズムはありますか？
ここで考慮している問題は、よく知られている間隔カラーリング問題の拡張です。間隔の代わりに、辺が軸に平行な長方形を考えます。目的は、重複する2つの長方形に異なる色が割り当てられるように、最小数の色を使用して長方形に色を付けることです。 この問題はNP困難であることが知られています。Xin Han、Iwama Kazo、Rolf Klein、Andrezej Lingas（ボックスグラフ上の最大独立セットと最小頂点カラーリングの近似）は、O（log n）近似を与えました。より良い近似アルゴリズムはありますか？ 区間の色付けの問題は、左端に応じて区間を考慮することにより、最初に適合したアルゴリズムによって多項式時間で解かれることがわかっています。ただし、間隔が任意の順序で表示される場合、ファーストフィットオンラインアルゴリズムは8競争力があります。 長方形の色付け問題に対する最適アルゴリズムのパフォーマンスはどうですか？長方形が左（垂直）辺に従って表示されると、最初に適合するアルゴリズムはどうなりますか？ これに関する助けを事前に感謝します。
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準線形時間アルゴリズムが存在する問題の特徴付け
（入力サイズで）準線形時間のアルゴリズムが存在する問題が特定の特性を持っていると特徴付けられるかどうか疑問に思っていました。これには、サブリニア時間（プロパティテスト、決定問題の近似の代替概念）、サブリニアスペース（チューリングマシンに読み取り専用テープ、サブリニア作業スペース、書き込み専用出力があるスケッチ/ストリーミングアルゴリズムなど）が含まれます。テープ）およびサブリニア測定（スパースリカバリ/圧縮センシングなど）。特に、プロパティテストアルゴリズムのフレームワークと、ランダム化アルゴリズムおよび近似アルゴリズムの古典的なモデルの両方のこのような特性化に興味があります。 たとえば、動的プログラミングソリューションが存在する問題は、最適な部分構造と重複する部分問題を示します。貪欲な解決策が存在するものは、最適な部分構造とマトロイドの構造を示します。等々。このトピックに関する参考資料は大歓迎です。 決定論的な部分線形アルゴリズムを認めるいくつかの問題を除いて、私が見たほとんどすべての部分線形アルゴリズムはランダム化されています。準線形時間アルゴリズムを認める問題に関連する特定の複雑度クラスはありますか？はいの場合、このクラスはBPPまたはPCPに含まれていますか？
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主張されている利点にもかかわらず、微分近似比が標準の比と比較して十分に研究されていないのはなぜですか？
supAOPTsupAOPT\sup\frac{A}{OPT}MINMINMINAAAAAAOPTOPTOPTinfΩ−AΩ−OPTinfΩ−AΩ−OPT\inf\frac{\Omega-A}{\Omega-OPT}ΩΩ\Omega 同じ問題の異なる実現であることが知られている最小頂点被覆および最大独立集合のような問題に対して同じ近似比を与える; 同じ問題の最大バージョンと最小バージョンで同じ比率が得られます。同時に、標準理論ではMIN TSPとMAX TSPの比率が非常に異なることがわかっています。 最適な距離だけでなく、ペシマム\ Omegaまでの距離も測定しΩΩ\Omegaます。そのため、頂点カバーの場合、標準近似理論では222が最適な上限であると言われています。ただし、essentialy 222は、ペシマムと最適の最大比です。したがって、このようなアルゴリズムは、最悪の値を持つソリューションを出力することが保証されています。 私の議論の長所は、漸近分析では定数と低次の項を考慮しないことです（ここでは、Avi Widgersonの引用を思い出しました：「適切な抽象化レベルを使用しているため成功しています」）。アルゴリズムのリソース使用量を比較するための抽象化レベル。しかし、近似を研究するとき、何らかの理由で、それを回避できる場所に違いを導入します。 私の質問は なぜ微分近似理論はあまり研究されていません。または、関係する議論は十分に強力ではありませんか？
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順列行列のカバーを設定
nxnの順列行列のセットS（n！の可能な順列行列のごく一部です）が与えられた場合、Tの行列の追加がすべての位置で少なくとも1になるように、Sの最小サイズのサブセットTを見つけるにはどうすればよいですか？ SがS_nの小さなサブグループであるこの問題に興味があります。貪欲なアルゴリズムよりもはるかに速い近似アルゴリズムを見つける（そして実装する）ことが可能かどうか疑問に思っています（「ラッキー」になるまで何度も実行しますが、これは非常に遅い手順ですが、それにもかかわらずいくつかの最適範囲に近づいています）小さい場合）、または近寄れないことが保証できないかどうか。 この問題に関する簡単な事実：長さnの順列行列の巡回グループは、もちろん最適にこの問題を解決します。（各置換行列にはn個の1があり、n ^ 2個の行列が必要であるため、少なくともn個の行列が必要です。） 私が興味を持っているセットSには、n環式グループがありません。 この問題は、セットカバーの非常に特殊なケースです。実際、Xをn ^ 2個の要素を持つ集合（1,2、... n）*（1,2、... n）とすると、各置換行列はサイズnのサブセットに対応し、I Xをカバーするこれらのサブセットの最小のサブコレクションを探しています。セットカバー自体は、一般的なセットカバー問題の近似なので、この問題を確認する良い方法ではありません。 貪欲なアプローチを使用してこの問題がそれほど遅くない唯一の理由は、順列グループの対称性が多くの冗長性を排除するのに役立つからです。特に、Sがサブグループで、Tが最小のカバーセットである小さなサブセットである場合、セットsT（グループsの任意の要素にTを掛ける）はまだSにあり、カバーセット（もちろん）です。同じサイズなので、まだ最小です。）疑問に思った場合、成功したケースにはn〜30と| S |〜1000があり、幸運な貪欲な結果には| T |があります。〜37。n〜50のケースには、取得に非常に長い時間がかかる非常に貧弱な境界があります。 要約すると、この問題に対する近似アプローチがあるのか​​、それとも一般的な集合カバー問題のように、いくつかの非近似性の定理に収まるほど一般的であるのか疑問に思っています。実際に関連する問題を近似するためにどのアルゴリズムが使用されていますか？サブセットはすべて同じサイズであり、すべての要素は同じ小さな頻度1 / nで表示されるため、何か可能性があるようです。 -B
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不完全なサブグラフ同型
次の問題を考えてみましょう：クエリグラフおよび参照グラフ与えられた場合、単射写像を見つけて、エッジように。これは、サブグラフをいくつかの欠損エッジまで同型にすることができ、欠損エッジの数を最小限にする方法を見つけたいサブグラフ同型問題の一般化です。G ' = （V '、E '）、F ：V → V '（V 1、V 2）∈ E （F （V 1）、F （V 2））∉ E 'G=(V,E)G=(V,E)G = (V, E)G′=(V′,E′)G′=(V′,E′)G' = (V', E')f:V→V′f:V→V′f : V \rightarrow V'(v1,v2)∈E(v1,v2)∈E(v_1, v_2) \in E(f(v1),f(v2))∉E′(f(v1),f(v2))∉E′(f(v_1), f(v_2)) \notin E' また、頂点のカップルが重み（場合はゼロでなければなりませんの重み付きバージョンにも興味があります。、およびについても同様で、（\ max参照グラフの重みよりも大きいクエリグラフの重みのみにペナルティを課すためにあります）。(v1,v2)∈V2(v1,v2)∈V2(v_1, v_2) \in V^2w(v1,v2)w(v1,v2)w(v_1, v_2)(v1,v2)∉E)(v1,v2)∉E)(v_1, v_2) \notin E)G′G′G'∑v1,v2(max(0,w(v1,v2)−w(f(v1),f(v2))))∑v1,v2(max(0,w(v1,v2)−w(f(v1),f(v2))))\sum_{v_1, v_2} (\max(0, w(v_1, v_2) - …
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頂点ラベリングの「ローカル」関数を結合するためのグラフ分解
私たちが見つけたいとし ∑バツ∏I J ∈ Ef（x私、xj）∑バツ∏私j∈Ef（バツ私、バツj）\sum_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j) または 最大バツ∏I J ∈ Ef（x私、xj）最大バツ∏私j∈Ef（バツ私、バツj）\max_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j) Vのすべてのラベル付けでmaxまたはsumが取られる場合VVV、積はグラフG = \ {V、E \}のすべてのエッジEEEで取られ、fは任意の関数です。この量は、有界ツリー幅グラフでは簡単に、一般的に平面グラフではNP困難です。適切な色の数、最大独立集合、およびオイラー部分グラフの数は、上記の問題の特別な例です。この種の問題、特に平面グラフの多項式時間近似スキームに興味があります。どのグラフ分解が有用でしょうか？G = { V、E}G={V、E}G=\{V,E\}fff 編集11/1：例として、統計物理学のクラスター展開（つまり、マイヤー展開）に類似するかもしれない分解について疑問に思っています。fffが弱い相互作用を表す場合、そのような展開は収束します。つまり、グラフのサイズに関係なく、展開のkkk項で所定の精度を達成できます。これは、量に対するPTASの存在を意味しませんか？ 2011年2月11日更新 高温膨張は、高次の項が高次の相互作用に依存する項の合計としてパーティション関数ZZZを書き換えます。「相関が減衰する」場合、高次の項は十分に速く減衰するため、ZZZの質量のほぼすべてが有限数の低次の項に含まれます。 たとえば、イジングモデルの場合、次のパーティション関数の式を考慮してください。 Z= ∑X ∈ XexpJ∑I J ∈ Eバツ私バツj= c ∑A ∈ C（タンJ）| A |Z=∑バツ∈バツexp⁡J∑私j∈Eバツ私バツj=c∑A∈C（タン⁡J）|A|Z=\sum_\mathbf{x\in \mathcal{X}} \exp J \sum_{ij \in E} x_i …
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このTSPバリアントについて何が知られていますか？
この質問は、以前ここでコンピュータサイエンススタックエクスチェンジに投稿されました。 あなたが全国のクライアントと非常に成功した旅行セールスマンだと想像してください。配送を高速化するために、50キロメートルの有効範囲を持つ使い捨て配送ドローンを開発しました。この革新により、各都市に旅行して商品を配達する代わりに、ヘリコプターを50 km以内に飛ばし、ドローンが仕事を終えるだけで済みます。 問題：移動距離を最小化するには、どのようにヘリコプターを飛ばす必要がありますか？ より正確には、ユークリッド平面内の実数およびN個の異なる点{ p 1、p 2、… 、p N }が与えられた場合、各点について半径Rの閉じた円盤と交差する経路は総弧長を最小にしますか？パスを閉じる必要はなく、任意の順序でディスクと交差できます。R > 0R>0R>0NNN{ p1、p2、… 、pN}{p1、p2、…、pN}\{p_1, p_2, \ldots, p_N\}RRR 明らかに、この問題はとしてTSPに減少するため、効率的な正確なアルゴリズムを見つけることは期待できません。文献でこの問題が何と呼ばれているか、そして効率的な近似アルゴリズムが知られていれば、私は満足するでしょう。R → 0R→0R \to 0
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準指数時間での近似
多項式時間でのNP完全問題の近似アルゴリズムと指数時間での正確なアルゴリズムに関する研究があります。フォームの準指数時間でNP完全問題に対する近似アルゴリズムに関する研究がある δ 2 ∈ （0 、1 ）？2nδ22nδ22^{n^{\delta_2}}δ2∈(0,1)δ2∈(0,1)\delta_2\in(0,1) 私は、サブ指数時間の独立数やクリーク数など、多項式時間に近似可能な困難な問題について知られていることに特に興味がありますか？ETHはそのような時間枠での正確な計算のみを禁止していることに注意してください。頂点数グラフでは、独立数はα(G)=2r(n)nα(G)=2r(n)n\alpha(G)=2^{r(n)n}であるとしますいくつかの 0 &lt; r （n ）&lt; s （n ）。である 2 （R|V|=2s(n)n|V|=2s(n)n|V|=2^{s(n)n}0&lt;r(n)&lt;s(n)0&lt;r(n)&lt;s(n)0<r(n)<s(n)時間の独立番号の可能-factor近似スキーム 2 | V | δ 2 = 2つの2 δ 2 S （N ）nは 0&lt; δ 1 &lt;1及び0&lt; δ 2 &lt;1いくつかの固定された正の実数でありますか？2(r(n)n)δ12(r(n)n)δ12^{(r(n)n)^{\delta_1}}2|V|δ2=22δ2s(n)n2|V|δ2=22δ2s(n)n2^{|V|^{\delta_2}}=2^{2^{\delta_2s(n) n}}0&lt;δ1&lt;10&lt;δ1&lt;10<\delta_1<10&lt;δ2&lt;10&lt;δ2&lt;10<\delta_2<1 それは、すべてのためのものであるが存在するδ 2 ∈ （0 、1 ）なるようにα （Gは）内に近似することができる2 ログδ 1 2（α （G …
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複雑性理論研究での証明アシスタントの使用法？
STOCのような会議で取り上げられているトピックを考慮すると、アルゴリズムまたは複雑性の研究者はCOQまたはIsabelleを積極的に使用していますか？もしそうなら、彼らは研究でそれをどのように使用していますか？証拠が低すぎるため、ほとんどの人はそのようなツールを使用しないと思います。素敵なサプリメントとは対照的に、これらの証明アシスタントを研究に不可欠な方法で使用している人はいますか？ これらのツールのいずれかを学習し始める可能性があり、削減、正確さ、または実行時間の証明のコンテキストでそれらについて学ぶのが楽しいので、私は興味があります。
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