主張されている利点にもかかわらず、微分近似比が標準の比と比較して十分に研究されていないのはなぜですか？

$\sup\frac{A}{OPT}$$MIN$$A$$A$$OPT$$\inf\frac{\Omega-A}{\Omega-OPT}$$\Omega$

• 同じ問題の異なる実現であることが知られている最小頂点被覆および最大独立集合のような問題に対して同じ近似比を与える;
• 同じ問題の最大バージョンと最小バージョンで同じ比率が得られます。同時に、標準理論ではMIN TSPとMAX TSPの比率が非常に異なることがわかっています。
• 最適な距離だけでなく、ペシマム\ Omegaまでの距離も測定し$\Omega$ます。そのため、頂点カバーの場合、標準近似理論では$2$が最適な上限であると言われています。ただし、essentialy $2$は、ペシマムと最適の最大比です。したがって、このようなアルゴリズムは、最悪の値を持つソリューションを出力することが保証されています。

私の議論の長所は、漸近分析では定数と低次の項を考慮しないことです（ここでは、Avi Widgersonの引用を思い出しました：「適切な抽象化レベルを使用しているため成功しています」）。アルゴリズムのリソース使用量を比較するための抽象化レベル。しかし、近似を研究するとき、何らかの理由で、それを回避できる場所に違いを導入します。

私の質問は

なぜ微分近似理論はあまり研究されていません。または、関係する議論は十分に強力ではありませんか？

請求の二つの解釈がありますが、「アルゴリズム見つかったα、問題の-approximation Pを」$A$$\alpha$$P$：

1. 問題は、適切な近似を見つけるアルゴリズムがあるため、かなり簡単に解決できます。$P$
2. アルゴリズムある良い、それは良い近似を発見するので、。$A$

近似係数の古典的な定義は、最初の解釈を強調していると思います。問題をどれだけ簡単に解決できるかによって分類します。

微分近似比は、2番目の解釈にもう少し重点を置いているようです。単純なアルゴリズム（たとえば、空のセットまたはすべてのノードのセットを出力するだけのアルゴリズム）に「報酬」を与えたくありません。

もちろん、どちらも有効な視点ですが、異なる視点です。

また、もう少し実用的な観点から質問を勉強することもできます。残念ながら、頂点カバー自体にはそれほど多くの直接的な用途はありませんが、議論のために、これら2つの（やや不自然な）アプリケーションを考えてみましょう。

• 頂点カバー：ノードはコンピューターであり、エッジは通信リンクです。すべての通信リンクを監視するため、各エッジの少なくとも1つのエンドポイントが特別なプロセスを実行する必要があります。

• 独立セット：ノードはワーカーであり、エッジはアクティビティ間の競合をモデル化します。同時に実行できる、競合のない一連のアクティビティを見つけたいと考えています。

現在、両方の問題には簡単な解決策があります。すべてのノードのセットは頂点カバーであり、空のセットは独立したセットです。

主な違いは、頂点カバー問題では、簡単な解決策で仕事が完了することです。もちろん、必要以上のリソースを使用していますが、少なくとも実際には使用できるソリューションがあります。ただし、独立集合問題では、些細な解決策はまったく役に立ちません。まったく進歩していません。誰も何もしていません。タスクは決して完了しません。

同様に、ほとんど自明な解決策を比較できます。最大一致のエンドポイントで構成される頂点カバーと、Cの補数である独立セットIです。繰り返しになりますが、Cは確かにアプリケーションで仕事を完了しますが、今回はリソースを2倍以上無駄にしません。しかし、私は再び空のセットになる可能性があり、これはまったく役に立ちません。$C$$I$$C$$C$$I$

したがって、近似保証の標準定義は、解が有用かどうかを直接示します。頂点カバーの2つの近似により、仕事が完了します。近似保証のない独立したセットは完全に役に立たないかもしれません。

ある意味では、微分近似比は、ソリューションが「どれほど重要でない」かを測定しようとしますが、これらのアプリケーションのどちらでも重要ですか？（どのアプリケーションでも重要ですか？）

私は微分近似の概念に精通しておらず、なぜよく研究されていないのかという理論もありません。ただし、近似アルゴリズムのパフォーマンスを単一の尺度で記述することは必ずしも望ましいとは限らないことを指摘したいと思います。この意味で、ある尺度が別の尺度より優れていることに同意するのは難しいと思います。

たとえば、先ほど述べたように、最小頂点カバーは多項式時間2近似アルゴリズムを受け入れますが、最大の独立したセットを一定の比率に近似することはNP困難です。これは一見して驚くべきことだと理解していますが、正当な意味があります：（1）最小頂点カバーは小さい場合はうまく近似できますが、（2）大きい場合はうまく近似できません。最小の頂点カバー（および最大の独立したセット）を正の定数微分近似比で近似することはNP困難であると述べるとき、プロパティ（1）を事実上無視しています。いくつかの目的ではプロパティ（1）を無視することでおそらく十分ですが、常にそうであるとは限りません。

近似アルゴリズムのパフォーマンスを記述するために、必ずしも近似比を使用するとは限らないことに注意してください。たとえば、PCP定理の完全な一般性に基づいた近似不可能な結果を​​述べるには、ギャップ問題に基づいた定式化が必要です。詳細については、別の質問に対する私の答えをご覧ください。この場合、標準近似比も微分近似比も使用せずに、完全な一般性で結果を述べることができます。

剛が指摘しているように、問題は、取得した境界をどのような種類の引数に使用するかである可能性があります。以下では、2つの異なる動機を開発してみます。

形式標準比率$\alpha = \frac{A}{OPT}$

$\alpha = \frac{\Omega - A}{\Omega - OPT}$$\alpha\cdot 100\%$

そのため、派生バインドがどのようなステートメントをサポートするかによって、適切な代替を選択する必要があります。

$[\Omega, OPT]$