順列行列のカバーを設定

nxnの順列行列のセットS（n！の可能な順列行列のごく一部です）が与えられた場合、Tの行列の追加がすべての位置で少なくとも1になるように、Sの最小サイズのサブセットTを見つけるにはどうすればよいですか？

SがS_nの小さなサブグループであるこの問題に興味があります。貪欲なアルゴリズムよりもはるかに速い近似アルゴリズムを見つける（そして実装する）ことが可能かどうか疑問に思っています（「ラッキー」になるまで何度も実行しますが、これは非常に遅い手順ですが、それにもかかわらずいくつかの最適範囲に近づいています）小さい場合）、または近寄れないことが保証できないかどうか。

この問題に関する簡単な事実：長さnの順列行列の巡回グループは、もちろん最適にこの問題を解決します。（各置換行列にはn個の1があり、n ^ 2個の行列が必要であるため、少なくともn個の行列が必要です。）

私が興味を持っているセットSには、n環式グループがありません。

この問題は、セットカバーの非常に特殊なケースです。実際、Xをn ^ 2個の要素を持つ集合（1,2、... n）*（1,2、... n）とすると、各置換行列はサイズnのサブセットに対応し、I Xをカバーするこれらのサブセットの最小のサブコレクションを探しています。セットカバー自体は、一般的なセットカバー問題の近似なので、この問題を確認する良い方法ではありません。

貪欲なアプローチを使用してこの問題がそれほど遅くない唯一の理由は、順列グループの対称性が多くの冗長性を排除するのに役立つからです。特に、Sがサブグループで、Tが最小のカバーセットである小さなサブセットである場合、セットsT（グループsの任意の要素にTを掛ける）はまだSにあり、カバーセット（もちろん）です。同じサイズなので、まだ最小です。）疑問に思った場合、成功したケースにはn〜30と| S |〜1000があり、幸運な貪欲な結果には| T |があります。〜37。n〜50のケースには、取得に非常に長い時間がかかる非常に貧弱な境界があります。

要約すると、この問題に対する近似アプローチがあるのか​​、それとも一般的な集合カバー問題のように、いくつかの非近似性の定理に収まるほど一般的であるのか疑問に思っています。実際に関連する問題を近似するためにどのアルゴリズムが使用されていますか？サブセットはすべて同じサイズであり、すべての要素は同じ小さな頻度1 / nで表示されるため、何か可能性があるようです。

-B

Sが対称グループのサブグループである必要がない場合の近似性のほぼ厳密な分析を次に示します。

この問題はSet Coverの特殊なケースであり、単純な欲張り近似アルゴリズム[Joh74]があります。我々が示した場合、Kとしてハーモニック数番目のH _K =Σを_{iが 1つの=} ^K 1 / iは、貪欲アルゴリズムは、近似比達成Hを _N = LN N +Θ（1）。（そこアルゴリズム[DF97]わずかに良い近似比で結果である H _N。-1/2）（編集：改定2以前の悪い正しい値より貪欲アルゴリズムの近似比を述べて。）

さらに、これは次の意味でほぼ最適です。

定理。順列行列のカバーを近似比（1 −ε）内で近似することはできませんln nは任意の定数で0 < ε <1 NP⊆DTIMEない限り（N ^{O（ログログN）}）。

これが証拠のスケッチです。[ n ] = {1、…、n } と書きます。Set Coverから削減を構築します。

カバー
インスタンスの設定：正の整数mおよび[ m ]のサブセットのコレクションC。解決策：Dの集合の和集合であるようなCのサブセットD
[に等しいM ]。
目的：最小化| D |。

これはFeige [Fei98]で有名な結果である設定カバーが近似率（1-以内に近似することができないことをε）LN M任意定数0 < ε <1 NP⊆DTIMEない限り（N ^{O（ログログN）}）。

（m、C）をSet Coverのインスタンスとします。順列行列のSet Coverのインスタンス（n、S）を構築します。

$\pmatrix{0 & 1 \\ 1 & 0}$$\pmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1}$I ≤ N（ここで、インデックスI 2はモジュロとして解釈されるN ₀ ∪...∪ S _M。）。0≤用J ≤ M、規定のS _jは = { P _E Q ^J：E ∈ C ∪{{ M +1}}}とS = S

請求。ましょうkは〔の最小被覆の大きさMで] C。次に、最小カバーのサイズ S（k +1）（m +1）に等しくなります。

証明スケッチ。場合D ⊆ Cは、〔のカバーでM ]、我々はカバー構築することができるT ⊆ S（|サイズのD（+1 |）Mによって+1）T = { P _E Qの^J：E ∈ S ∪{{ M +1}}、0≤ J ≤ M }。

一方、聞かせてT ⊆ Sをカバーすること。S _0のすべての行列はサイズが2×2のブロックの対角ブロックであり、Sの他の行列はこれらのブロックで0であることに注意してください。したがって、T ∩ S _0は、これらのブロックをカバーします。また、T ∩ S _0は含まP _{{ M +1}}そうでなければ（2以降M +1、2 M +2）-entryがカバーされないであろう。それを観察（T ∩ S ₀）∖{ P _{{ M +1}}}はCのセットカバーに対応します。したがって、| T ∩ S ₀ |≥ K +1。同様に、任意の0≤ためのJ ≤ メートル、| T ∩ Sの_J |≥ K +1。したがって、| T |≥（k +1）（m +1）。 Claimの証明スケッチの終わり。

クレームによって、上記で構築された削減は近似比を保持します。特に、定理を確立します。

参照資料

[DF97] Rong-Chii DuhとMartinFürer。セミローカル最適化によるkセットカバーの近似。ではコンピューティングの理論（STOC）の第二十九回ACMシンポジウム、頁256から264まで、1997年5月 http://dx.doi.org/10.1145/258533.258599

[Fei98] Uriel Feige。セットカバーを近似するためのln nのしきい値。 ACMのジャーナル、45（4）：634から652、1998年7月 http://dx.doi.org/10.1145/285055.285059

[Joh74]デビッドS.ジョンソン。組み合わせ問題の近似アルゴリズム。 コンピュータとシステム科学誌、9（3）：256から278まで、12月1974年 http://dx.doi.org/10.1016/S0022-0000(74)80044-9

ブリュッセルでの昼食をとって、3SATからのかなり短い削減により、この問題がNPハードであることを証明しました。私たちの証明は、（まだ）近似不可能な結果につながりません。それについてもっと考えます。

大まかに言うと、3-SATインスタンス（n変数とc節）を、次のように構造化された一連の順列に変換します。

変数ガジェットで使用されるn個の変数n + 1に番号を付ける1 ... n n + 2、n + 3は1番目の節を表します... n + 2j、n + 2j + 1はj番目の節を表しますn + 2c + 2ガベージコレクターによって使用されます

変数xiは、順列1、...、i-1、n + 1、i + 1、...、n、i、...で表され、すべての節でn + 2j + 1、n + 2jを交換しますここで、xiはxiの位置にあります。順列1、...、i-1、n + 1、i + 1、...、n、i、...およびすべての節のn + 2j + 1、n + 2jの交換xiが表示されます。

次に、ガベージコレクターを使用して、他の方法では表示できない位置に各番号を配置します。xを位置yに配置するには、yを位置n + 2c + 2に、n + 2c + 2を位置xに配置します。各変数には正確にn + 2c-1個のガベージコレクタがあり、各句には2（n + 2c-1）個あります。3SATは、各変数に対して2つの順列のうちの1つを正確に選択できる場合、順列セットカバーのサイズがn +（n + 2c-1）（n + 2c）の場合に満たされます。

小規模なインスタンスには、おそらくいくつかの小さな詳細が欠落しています。

ステファン。