近似アルゴリズムの理論的応用

最近、NP困難問題の近似アルゴリズムの調査を開始し、それらを研究する理論的理由について疑問に思っていました。（質問は炎症を起こすことを意図していません-私は単に好奇心が強いです）。

近似アルゴリズムの研究からいくつかの本当に美しい理論が出てきました-PCP定理と近似の硬さの間の関係、UGC予想、ゴーマン-ウィリアムソン近似アルゴリズムなど。

トラベリングセールスマン、非対称トラベリングセールスマン、その他のバリエーション、メカニズム設計のさまざまな問題（組み合わせオークションなど）の問題の近似アルゴリズムを研究するポイントについては疑問に思っていました。過去に、または彼ら自身のために純粋に研究されていますか？

注：現実の世界では、近似アルゴリズムではなくヒューリスティックが適用されることを知っている限り、実用的なアプリケーションについては尋ねません。ヒューリスティックは、近似アルゴリズムを研究することによって得られる洞察によってほとんど通知されません。問題。

最後の段落には強く反対します。そのような包括的なステートメントは有用ではありません。ネットワーク、データベース、AIなど、多くのシステム分野の論文を見ると、実際には多くの近似アルゴリズムが使用されていることがわかります。非常に正確な答えを望むいくつかの問題があります。たとえば、航空会社がフリートスケジューリングを最適化することに興味があるとします。そのような場合、人々はかなりの計算時間を要するが、一般的な近似アルゴリズムが提供できるよりも良い結果を得るさまざまなヒューリスティックを使用します。

ここで、近似アルゴリズムを研究するためのいくつかの理論的な理由から。まず、ナップザックは実際には非常に簡単であり、グラフの色付けは非常に難しいという事実を説明するものは何ですか？どちらもNPハードであり、互いに時間を短縮できます。第二に、問題の特殊なケースの近似アルゴリズムを研究することにより、どのクラスのインスタンスが簡単または難しい可能性が高いかを特定できます。たとえば、平面グラフおよびマイナーフリーグラフでは多くの問題がPTASを認める一方で、任意の一般的なグラフでははるかに難しいことがわかっています。近似の考え方は、現代のアルゴリズム設計に普及しています。たとえば、人々はデータストリーミングアルゴリズムを使用しており、近似レンズなしでは、単純な問題でも正確に解決できないため、アルゴリズムの理解/設計が困難です。

$S_2^p \subseteq ZPP^{NP}$

また、少なくともこの一般性で述べられている「メモ」にも同意しません。これに関連して、David JohnsonのKanellakis賞の講演がどこかで利用できるかどうか誰もが知っていますか？

また、NP困難問題がすべて厳密解の最悪の複雑さに関して同等であることを認識したら、近似解を見つける複雑さについて問い合わせることは非常に自然です。そして、チャンドラは、近似アルゴリズムがアルゴリズム設計にもたらす視点の変化について大きなポイントを示しています。

$O(\log n)$

最高のヒューリスティックは、実際には近似アルゴリズムです。最も美しい近似アルゴリズムは、機能する「愚かな」ヒューリスティックです。たとえば、クラスタリングのローカル検索、貪欲なクラスタリング（Gonzalez）、2つの価格の1つ、さまざまな貪欲なアルゴリズムなど、など。

したがって、近似アルゴリズムの研究とは、実際に、ヒューリスティックスが保証された近似アルゴリズムであるかを理解することです。期待は、近似アルゴリズムの研究が2種類の相互受精を生み出すことです。

• ヒューリスティックから機能するアイデアをアルゴリズム設計ツールに移動します。同様に、アイデアをアルゴリズム設計から実際にうまく機能するヒューリスティック/アルゴリズムに移動します。
• 卒業したばかりの人とポジションの間の相互受精。

要するに、世界は正確ではなく、入力は正確ではなく、さまざまなアルゴリズムの問​​題によって最適化されたターゲット関数は正確ではなく、せいぜい必要なもののファジィ近似を表し、計算は正確ではありません。なぜ誰もが正確なアルゴリズムを学ぶのでしょうか？（回答：正確なアルゴリズムは本当に優れた近似アルゴリズムであるため。）

現実の世界では、正確なアルゴリズムはほとんどありません。リモートで関連するためには近似を使用する必要があります...

連続変数の問題に対処することは、正確なアルゴリズムでは非常に面倒です。たとえば、TSPインスタンスのエッジの重みを正確な実数で指定することはどういう意味ですか？

これらの問題に対してFPTASアルゴリズムを許可すると、これらのパラメーターを整数に量子化できます。これにより、問題の振る舞いははるかに良くなります（標準のチューリングマシンを使用できます）が、小さなエラーが発生します。