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対称群の表現理論の応用
この質問、特にOrの回答の最後の段落に触発されて、次の質問があります。 TCSの対称群の表現理論の応用を知っていますか？ 対称グループSnSnS_nは、グループ演算構成を持つのすべての順列の{ 1 、… 、n }{1,…,n}\{1, \ldots, n\}グループです。表現SnSnS_nから準同型であるSnSnS_n可逆の一般線形群に対してn × nn×nn \times n複雑なマトリックス。表現は行列の乗算により作用しCnCn\mathbb{C}^nます。の既約表現はSnSnS_n、CnCn\mathbb{C}^n不変の適切な部分空間を残さないアクションです。有限群の既約表現により、定義することができます非アーベル群上のフーリエ変換。このフーリエ変換は、巡回/アーベル群上の離散フーリエ変換の優れた特性のいくつかを共有しています。たとえば、畳み込みはフーリエ基底の点ごとの乗算になります。 対称群の表現理論は美しく組み合わせられています。各既約表現はSnSnS_n、整数分割に対応しnnnます。この構造および/または対称群のフーリエ変換は、TCSで用途を見つけましたか？
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計算可能な数が有理数か整数かをテストすることはできますか？
計算可能な数が有理数か整数かをアルゴリズムでテストすることはできますか？言い換えれば、それは道具計算数字は機能を提供するために、そのライブラリは可能でしょうisIntegerかisRational？ 私はそれが不可能であると推測し、これは何らかの形で2つの数値が等しいかどうかをテストすることができないという事実に関連していると推測していますが、それを証明する方法はわかりません。 編集：計算数はxxxの関数で与えられるfx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)の合理的な近似値を返すことができxxx高精度でϵϵ\epsilon：|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonいずれについても、ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0。このような関数を考えると、それがあれば、テストすることが可能であるx∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}またはx∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}？
18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 
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剰余類交差問題の複雑さ
対称群を考えると2つのサブグループ、および、しホールド？SnSnS_nG 、H≤ SnG、H≤SnG, H\leq S_nπ∈ Snπ∈Sn\pi\in S_nG π∩ H= ∅Gπ∩H=∅G\pi\cap H=\emptyset 私の知る限り、この問題は剰余類交差問題として知られています。何が複雑なのだろうか？特に、この問題はcoAMにあることが知られていますか？ さらに、がアーベル型に制限されている場合、複雑さはどうなりますか？HHH
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頂点推移グラフの認識の複雑さ
私はグループが関与する複雑性理論の分野に精通していないので、これがよく知られた結果である場合は謝罪します。 質問1.レッツオーダーの単純無向グラフとするn個。Gが頂点推移的であるかどうかを判断する計算の複雑さ（nに関して）GGGnnnnnnGGG A u t（G ）がV （G ）に対して推移的に作用する場合、グラフは頂点推移的であることを思い出してください。GGGAut(G)Aut(G)\mathrm{Aut}(G)V(G).V(G).V(G). 上記の定義が多項式時間アルゴリズムを許可するかどうかはわかりません。なぜなら、次数は指数関数的だからです。Aut(G)Aut(G)\mathrm{Aut}(G) しかし、頂点推移グラフには、それらを効率的に決定するために利用される可能性のある他の構造的特性がいくつかあるため、上記の質問の状況はわかりません。 さらに多くの構造を持つ頂点推移グラフのもう1つの興味深いサブクラスは、Cayleyグラフのクラスです。したがって、次の関連する質問も提起するのが自然です 質問2.グラフがCayleyグラフである場合、決定の計算の複雑さは何ですか？GGG
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高度に対称なNPまたはP完全言語がありますか？
そこに存在する、対称性基の一部ファミリー有するNP-またはP-完全言語G N（またはgroupoidをセットに（多項式時間で）が、その後、アルゴリズムの質問がよりオープンになる）作用L N = { L ∈ L ∣ | l | = n }軌道がほとんどない、つまり| L n / G n | &lt; n cは十分な大きさのnといくつかのcであり、G nLLLGnGnG_nLn={l∈L∣|l|=n}Ln={l∈L∣|l|=n}L_n = \{ l \in L \mid |l| = n \}|Ln/Gn|&lt;nc|Ln/Gn|&lt;nc|L_n / G_n| < n^cnnncccGnGnG_n効率的に生成できますか？nnn ここでのポイントは、このような言語/グループを見つけ、で多項式時間グループのアクションの下で正規形を見つけることができる場合、P T I M EによってLをスパース言語に減らすことができる特定のNの正規形を計算し、P = N PまたはL = Pであることを意味しますFPFP\mathrm{FP}LLLPTIMEPTIME\mathrm{PTIME}NNNP=NPP=NP\mathrm{P = …
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任意のP度に単語の問題を持つグループが存在しますか？
チューリング度が与えられた場合、その程度に問題がある単語が有限に提示されたグループがあることは長い間知られています。私の質問は、任意の多項式時間チューリング度に対して同じことが当てはまるかどうかです。具体的には、決定可能なセット与えられた場合、およびような、単語問題有限提示グループが存在しますか？また、有限に提示されたものから再帰的に提示されたものまでリラックスしたいと思います。AAAWWWW≤PTAW≤TPAW\leq_T^P AA ≤PTWA≤TPWA\leq_T^P W 答えはイエスだと思いますし、他の人がこれをどこかで読んだと言うのを聞いたことがありますが、参考文献を追いかけることはできませんでした。
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グループアクションの観点からのガウス消去
ガウス消去法により、行列多項式時間の行列式が計算可能になります。そうでなければ指数項の合計である行列式の計算の複雑さの低減は、代替の負の記号の存在によるものです（その欠如により、計算が永続的になりますつまりN P - C#P-hard#P-hard \#P\mbox{-}hardNP-CNP-CNP\mbox{-}C問題） 。これは、行列式に何らかの対称性をもたらします。たとえば、行または列のペアを交換すると、符号が逆になります。おそらく、Valiantによって導入されたホログラフィックアルゴリズムに関連して、ガウスの消去法はグループアクションの観点から説明でき、これが複雑さの軽減の一般的な手法につながることをどこかで読みました。 また、計算上の問題に対する複雑さの削減のほぼすべての原因は、何らかの対称性が存在していると感じています。本当ですか？グループ理論の観点からこれを厳密に形式化できますか？ 編集 参照を見つけました。（pg 2、2番目の段落の最終行）。論文を正しく理解していませんでした。質問が論文の誤った理解に基づいている場合は、修正してください。
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グループ理論におけるアルゴリズムの自己研究のための本
私はTCSに興味がある数学専攻です。 要素の順序の検索、コセットの列挙、ジェネレータの検索、特定のサブセットがグループを生成するかどうかのテストなど、グループの理論上の問題を解決するためのアルゴリズムとその複雑さを自習します。 どの本を読むべきですか？
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有限アーベル群のメンバーシップテストの複雑さ
次のabelianサブグループのメンバーシップテストの問題を考えます。 入力： 有限アーベル群G=Zd1×Zd1…×ZdmG=Zd1×Zd1…×ZdmG=\mathbb{Z}_{d_1}\times\mathbb{Z}_{d_1}\ldots\times\mathbb{Z}_{d_m}任意大きいとdidid_i。 発電セット{h1,…,hn}{h1,…,hn}\lbrace h_1,\ldots,h_n\rbrace亜群のH⊂GH⊂GH\subset G。 要素b∈Gb∈Gb\in G。 出力： 'はい'であればb∈Hb∈Hb\in Hの別の場所に'no'と」。 質問：この問題は、従来のコンピューターで効率的に解決できますか？古典的なチューリングマシンの通常の意味でO(polylog|G|)O(polylog|G|)O(\text{polylog}|G|)時間とメモリリソースを使用する場合、アルゴリズムは効率的だと思います。任意のサブグループHに対してと仮定できることに注意してください。入力サイズこの問題のは、⌈ ログ| G | ⌉。n=O(log|G|)n=O(log⁡|G|)n= O(\log|G|)HHH⌈log|G|⌉⌈log⁡|G|⌉\lceil \log|G|\rceil ややモチベーション。直観的には、線形合同システムまたは線形ディオファントス方程式を解くためのアルゴリズムで問題に取り組むことができるように見えます（以下を参照）。ただし、整数との計算のコンテキストで使用される計算効率には、強い多項式時間と弱い多項式時間、代数とビット複雑度などの異なる概念があるようです。私はこれらの定義の専門家ではなく、この質問を明確に解決する参考文献を見つけることができません。 更新：問題に対する答えは「はい」です。 遅い答えで、私はスミス正規形に基づいた方法を提案しました。これは、規定された形を持つすべてのグループにとって効率的です。 すべての特定の場合におけるものBlondinショーによって回答フォームであるD iは = NをE 、I、I及びN iが、E iが「小さな整数」であり、問題が属するNC 3 ⊂ P。小さな整数は、入力サイズO （log log | A |）で指数関数的に小さくなります。didid_idi=Neiidi=Nieid_i= N_i^{e_i}Ni,eiNi,eiN_i, e_iNC3⊂PNC3⊂P\text{NC}^3\subset \text{P}O(loglog|A|)O(log⁡log⁡|A|)O(\log\log|A|) 私の答えでは、この問題を解決するために「直交サブグループ」を使用しましたが、これは必要ないと考えています。私が読んでいる行エシェロンフォームの方法に基づいて、将来的にはより直接的な答えを提供しようとします。 いくつかの可能なアプローチ この問題は、線形合同システムおよび/または線形ディオファンタス方程式の解法と密接に関連しています。完了のためにこれらの接続を簡単に要約します。 取る、その列生成セットの要素である行列であることを { H 1、... 、HのN }。次の連立方程式AAA{h1,…,hn}{h1,…,hn}\lbrace h_1, \ldots, …
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非可換群の要素の順列により何が達成できるかを決定する
有限グループ修正します。私は次の決定問題に興味があります：入力はGのいくつかの要素であり、それらに半順序があり、問題は順序を満たし、その中の要素の構成がそうであるような要素の順列があるかどうかです順序は、グループの中立要素eを生成します。GGGGGGeee 正式には、テストの問題GGGは次のとおりで、グループが修正されます。GGG 入力：PからGまでのラベリング関数μを持つ有限半順序集合。（P、&lt; ）(P,&lt;)(P, <)μμ\muPPPGGG 出力：の線形拡張が存在するか否かを（すなわち、全順序（P 、&lt; '）すべてについてようにX 、Y ∈ P、X &lt; Yが意味X &lt; ' yは）、の要素書き込むよう、ことPを全順序を以下の&lt; "としてのx 1、... 、xはnは、我々が持っているμ （X 1）⋅ ⋯ ⋅ μ （PPP(P,&lt;′)(P,&lt;′)(P, <')x,y∈Px,y∈Px, y \in Px&lt;yx&lt;yx < yx&lt;′yx&lt;′yx <' yPPP&lt;′&lt;′<'x1,…,xnx1,…,xnx_1, \ldots, x_n。μ(x1)⋅⋯⋅μ(xn)=eμ(x1)⋅⋯⋅μ(xn)=e\mu(x_1) \cdot \cdots \cdot \mu(x_n) = e グループ場合、Gテストの問題は明らかにNPにあります。私の質問は次のとおりです。Gテスト問題がNP困難であるようなグループGはありますか？GGGGGGGGGGGG 同等の問題ステートメントに関するいくつかのコメント： ポーズと線形拡張の言語は、DAGとトポロジカル順序の言語と同等に置き換えることができます。つまり、必要に応じて、入力をグループ要素でラベル付けされた頂点を持つDAGとして、また、入力DAGのトポロジカルソートが達成するかどうかを尋ねる出力として考えることができます。eee 一つは、代わりに私たちはposetを与えられている困難な問題を検討することもできおよびG ∈ G、およびかどうかを尋ねるグラム（というよりeが）実現することができます。実際、より強力な問題は上記に還元されます。eが（P ′、&lt; ）で実現できるかどうかを尋ねることができます。ここでP ′はPですが、他のすべてよりも小さいg …
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アーベルの隠れサブグループ問題に対する量子アルゴリズムの理解の難しさ
AHSPアルゴリズムの最後のステップを理解するのが困難です。ましょうGGGアーベル群とすることがfffサブグループ隠し関数である。してみましょうのデュアルグループ表す。HHHG∗G∗G^*GGG アルゴリズムの手順は次のとおりです 最初に状態を準備し、 I=1|G|∑g∈G|g⟩|0⟩I=1|G|∑g∈G|g⟩|0⟩\qquad \displaystyle I=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |g\rangle|0\rangle。 そして、評価量子オラクル適用上の、私たちが得ますfffIII I′=∑g∈G|g⟩|f(g)⟩I′=∑g∈G|g⟩|f(g)⟩\qquad \displaystyle I'=\sum_{g \in G} |g\rangle|f(g)\rangle。 次に、 2番目のキュービットを測定します。I′I′I' I′=(1|H|Σg∈H|rh⟩)⊗|f(rh)⟩I′=(1|H|Σg∈H|rh⟩)⊗|f(rh)⟩\qquad\displaystyle I'= \left(\frac{1}{|H|}\Sigma_{g \in H} |rh\rangle\right) \otimes |f(rh)\rangle 一部の。r∈Gr∈Gr \in G 最初のキュービットに量子フーリエ変換を適用すると、次のようになります Im=1|H∗|∑χ∈H∗|χ⟩Im=1|H∗|∑χ∈H∗|χ⟩\qquad \displaystyle I_m = \frac{1}{|H^*|}\sum_{\chi \in H^*} |\chi\rangle、 ここで、。H∗={χ∈G∗:χ(h)=1,∀h∈H}H∗={χ∈G∗:χ(h)=1,∀h∈H}H^*= \{\chi \in G^*: \chi(h)=1 ,\forall h \in H\} 状態から、グループジェネレーターを取得するにはどうすればよいですか？ HImImI_mHHH
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グループ同型問題の最も難しい例は何ですか？
2つのグループ（G 、⋅ ）(G,⋅)(G,\cdot)と（H、× ）(H,×)(H, \times)は、GGGからHHHへの準同型（全単射）が存在する場合、同型であると言われます。グループ同型問題は次のとおりです。2つのグループを指定して、それらが同型であるかどうかを確認します。グループを入力する方法はいくつかありますが、主に使用されるのは、Cayleyテーブルと生成セットの2つです。ここでは、入力グループがCayleyテーブルで指定されていると想定しています。より正式には： グループ同型問題Group Isomorphism Problem\textbf{Group Isomorphism Problem} Input : Input : \textbf{Input : } 2つのグループ(G,⋅)(G,⋅)(G,\cdot)および(H,×)(H,×)(H,\times)。 Decide : Decide : \textbf{Decide : } あるG≅HG≅HG \cong H？ 私たちはその仮定しようn=|G|=|H|n=|G|=|H|n = |G| = |H| 入力グループがCayleyテーブルによって与えられたときのグループ同型問題は、一般にPP\textbf{P}にあることはわかっていません。問題が多項式時間であることが知られているアーベルグループクラスのようなグループクラスがありますが、アーベルグループの拡張であるグループ、単純なグループなどがあります。無力クラス2グループの場合でも、ブルートフォースよりも優れたアルゴリズムはありません。知られている。 グループ同型のブルートフォースアルゴリズムは、Tarjanによって次のように提供されています。ましょうGGG及びHHH二つの入力基であり、およびlet SSSグループの発電装置であるGGG。すべての有限群がO(logn)O(log⁡n)\mathcal{O}(\log n)サイズの生成セットを受け入れ、それが多項式時間で見つかることはよく知られている事実です。GからHへの準同型での生成セットSSSの画像の数はn log n manyです。次に、可能な各準同型が全単射かどうかを確認します。全体的なランタイムはn log nになりますGGGHHHnlognnlog⁡nn^{\log n}nlogn+O(1)nlog⁡n+O(1)n^{\log n + \mathcal{O}(1)}。 まず、グループGGG中心を定義しましょう。 Z(G)={g∈G∣ag=ga,∀a∈G}Z(G)={g∈G∣ag=ga,∀a∈G}Z(G) = \{g …
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この「サブグループパッキング」ポリトープは不可欠ですか。
ましょう有限アーベル群であること、およびletでポリトープこと点であると定義さ、以下の不等式を満たします：P R Γ XΓΓ\GammaPPPRΓRΓ\mathbb{R}^\Gammaxバツx ∑g∈Gxg≤|G|xg≥0∀G≤Γ∀g∈ΓΣg∈Gバツg≤|G|∀G≤Γバツg≥0∀g∈Γ\begin{array}{cl} \sum_{g\in G} x_g \le |G| & \forall G \le \Gamma \\ x_g \ge 0 & \forall g \in \Gamma \end{array} ここで、はがサブグループであることを意味します。ある積分は？もしそうなら、その頂点を特徴付けることができますか？G Γ PG≤ΓG≤ΓG \le \GammaGGGΓΓ\GammaPPP 私の質問は元々で発生しました。いくつかの小さな例（）は、答えが「はい」と「たぶん、しかし単純ではない」ことを示唆しています。また、9要素と10要素の循環グループ、およびも試してみました。ここでもポリトープは積分です。が、、およびいずれかである場合、ポリトープは積分ではないため、アービアン性が明らかに不可欠です。、N = 2 、3 F 2 3Γ=Fn2Γ=F2ん\Gamma = \mathbb{F}_2^nn=2,3ん=2、３n = 2,3F23F３2\mathbb{F}_3^2S 3 D 4 D 5ΓΓ\GammaS3S３S_3D4D4D_4D5D5D_5 方程式の最初のセットをと書く場合、は必ずしも完全に単一モジュラーではない（これは、ポリトープが積分であることを意味します）ことに注意してください。、次の3つの線形独立な選択することができ三取る選択素子の各対が及ぶの。結果のサブマトリックスは までの順列なので、行列式ます。Ax≥bあバツ≥bAx \ge bAあAΓ=F32Γ=F2３\Gamma …
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逆行列なしの
BabaiとSeressは証明亜群所与ことと発電セットSのG、のいずれかの順列Gが発生し、長さのそれらの逆数の積として書くことができるE （1 + O （1 ））√G ≤ SんG≤SんG \leq S_nSSSGGGGGG。Snにはe（1+o（1））の次数の要素があるため、この境界は最適です √e（1 + o （1 ））n ログん√e（1+o（1））んログ⁡んe^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}SんSんS_n。e（1 + o （1 ））n ログん√e（1+o（1））んログ⁡んe^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}} すべての要素に最大でe （1 + o （1 ））の次数があるという古典的な事実√SんSんS_n亜群所与ことBabaiとSeress、ショーの結果と組み合わせて、G≤SNと発電セットSのGを、内の任意の順列Gが最大で長さの発電機の積として書くことができるE2（1+o（1）） √e（1 + o （1 ））n ログん√e（1+o（1））んログ⁡んe^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}G ≤ SんG≤SんG \leq S_nSSSGGGGGG。e2 （1 + o （1 ））n ログん√e2（1+o（1））んログ⁡んe^{2(1+o(1))\sqrt{n\log n}} 上限e 2 （1 …
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