非可換群の要素の順列により何が達成できるかを決定する

有限グループ修正します。私は次の決定問題に興味があります：入力はGのいくつかの要素であり、それらに半順序があり、問題は順序を満たし、その中の要素の構成がそうであるような要素の順列があるかどうかです順序は、グループの中立要素eを生成します。$G$$G$$e$

正式には、テストの問題$G$は次のとおりで、グループが修正されます。$G$

• 入力：PからGまでのラベリング関数μを持つ有限半順序集合。$(P, <)$$\mu$$P$$G$
• 出力：の線形拡張が存在するか否かを（すなわち、全順序（P 、< '）すべてについてようにX 、Y ∈ P、X < Yが意味X < ' yは）、の要素書き込むよう、ことPを全順序を以下の< "としてのx 1、... 、xはnは、我々が持っているμ （X 1）⋅ ⋯ ⋅ μ $P$$(P, <')$$x, y \in P$$x < y$$x <' y$$P$$<'$$x_1, \ldots, x_n$。$\mu(x_1) \cdot \cdots \cdot \mu(x_n) = e$

グループ場合、Gテストの問題は明らかにNPにあります。私の質問は次のとおりです。Gテスト問題がNP困難であるようなグループGはありますか？$G$$G$$G$$G$

同等の問題ステートメントに関するいくつかのコメント：

• ポーズと線形拡張の言語は、DAGとトポロジカル順序の言語と同等に置き換えることができます。つまり、必要に応じて、入力をグループ要素でラベル付けされた頂点を持つDAGとして、また、入力DAGのトポロジカルソートが達成するかどうかを尋ねる出力として考えることができます。$e$
• 一つは、代わりに私たちはposetを与えられている困難な問題を検討することもできおよびG ∈ G、およびかどうかを尋ねるグラム（というよりeが）実現することができます。実際、より強力な問題は上記に還元されます。eが（P ′、< ）で実現できるかどうかを尋ねることができます。ここでP ′はPですが、他のすべてよりも小さいg − 1というラベルの要素があります。したがって、上記の定義におけるeの自然な選択。$(P, <)$$g \in G$$g$$e$$e$$(P', <)$$P'$$P$$g^{-1}$$e$

さて、問題を解決しようとする私の試みについて：

• もちろん、グループが可換である場合、すべての線形拡張が同じグループ要素を達成するため、Gテスト問題は明らかにPTIMEにあります。そのため、トポロジの並べ替えによってそれらのいずれかを選択し、eかどうかを確認できます。したがって、興味深いケースは非可換Gです。より一般的には、Gが非自明な可換群（例えば、順列の署名）に対する準同型性を持っている場合、必要だが非十分な条件は、準同型性を通して問題を調べ、可換画像のPTIMEでそれをチェックすることです。これがすべての有限グループの分解スキームに一般化できるかどうかはわかりません。$G$$G$$e$$G$$G$
• 順序関係が空である場合（つまり、私たちはの要素のマルチセット与えられ、任意の順列を使用することができる）、問題は、状態は、各要素の出現回数である動的計画法によって解くことができるGまだ使用されません（Gは固定されているため、状態数は入力の多項式になります）。$G$$G$$G$
• 一定の幅のポーズである入力の場合、チェーン分解に続く動的アルゴリズムを使用できます。したがって、硬度が保持される場合、任意の幅の入力ポゼットを使用する必要があります。広いposetsの動的プログラミングアプローチの可能な「状態」の数は数であろうことに留意されたい混乱アプローチが直接作業しないように、一般的に指数関数多項式ないposetの、。
• 同じ問題は、グループではなくモノイドについても研究できますが、モノイドについては、オートマトンの遷移モノイドを含み、以前のCStheoryの質問の変種に帰着するかなり複雑な議論によって困難であることをすでに知っています。これの完全な証拠は、このプレプリントにあり、付録D.1.3とD.1.4にありますが、用語は非常に異なります。したがって、テストがPTIMEの場合、グループ要素の可逆性を使用する必要があります。$G$
• すべての線形拡張が（一部ではなく）実現するかどうかを尋ねると、問題はPTIMEにあることがわかります（同じプレプリントの付録D.2を参照）。この他の問題はcoNP-グループではなくモノイドに対して難しい（D.1.3およびD.1.4）。$e$

場合 -testは、いくつかのために懸命にあるG、当然のことながら、自然な質問は、いくつかの二分法が成立しているか否かで、その基準が扱いやすいでしょう区別Gと非扱いやすいGを。実際、グループの代わりに有限オートマトンを使用する場合、この質問はより一般的に尋ねられます。（正式：修正A有限アルファベットΣ、および有限決定性有限オートマトン（DFA）AのΣ考慮し、Aからの元素で標識したposet与えられた検定問題を、Σ単語がで受け入れ、いくつかの線形の拡張形式かどうかをチェックします、A。）もちろん、これらの難しい質問についてはわかりません。$G$$G$$G$$G$$\Sigma$$A$$\Sigma$$A$$\Sigma$$A$

$G$$G$

証明

$f(x) = -x$$g_a(x) = x + a$

$G$$f$$g_a$

$G$$\{f \circ g_a | a \in \mathbb{Z} \} \cup \{g_a | a \in \mathbb{Z} \}$

$G$

$a_1, a_2, ..., a_n$

$P$$n+2$$f$$n$$g_{a_i}$$i = 1,..., n$

$g_p \circ g_q = g_{p+q}$$f \circ g_p \circ f = g_{-p}$$P$$g_{\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i}$$I$$g_{a_i}$$f$$g_0$$P$$\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i = 0$$\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

$G$$I$$\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

$G$$G$

私の共著者と一緒に、この問題を通常の言語でより一般的に研究するプレプリントを投稿しました。有限群の場合、要素の半順序が連鎖の結合で構成される場合、問題は扱いやすい（NLで）と主張します。定理6.2を参照してください。一般的なDAGの問題もNLにあり、その設定にテクニックを拡張する希望があると推測しますが、この質問に関連するこのための要素がありません -詳細については、プレプリントのセクションを参照してください6、最後の「制限」段落、2番目の制限。