タグ付けされた質問 「order-theory」

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posetsのバイナリ検索の一般化？
Sにポーズ "S"と単調な述語 "P"があるとします。Pを満たすSの1つまたはすべての最大要素を見つけたいと思います。 編集：私はPの評価の数を最小限にすることに興味があります。 この問題にはどのようなアルゴリズムが存在し、Sにはどのようなプロパティと追加の操作が必要ですか？ 次のような重要な特殊なケースはどうですか？ Sは線形順序です。「中間検索」操作がある限り、通常のバイナリ検索が機能します。 Sは格子です Sはサブセットラティスです Sはマルチセットラティスです ... 後者の2つのケースは、たとえば実験設計などで特に重要に思えます。ブールまたは実パラメータのセットがあり、特定のパターンを再現する最小の組み合わせ（たとえば、テストの失敗）を見つけたい場合です。
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理論CSにおけるポーズ/格子上の計量構造の応用
この用語はオーバーロードされているため、最初に簡単な定義から始めます。ポーズは、部分順序付与されたセットです。二つの要素所与、我々は定義することができ上部に結合し、それらの少なくともとして（参加）を、と同様に定義する下限最大として（結合）（出会う）を。≤ 、B ∈ X X ∨ Y X X ∧ YバツバツX≤≤\le、B ∈ Xa、b∈バツa,b \in XX ∨ Yバツ∨yx \vee yバツバツXX ∧ Yバツ∧yx \wedge y ラティスは、任意の2つの要素が一意のミートと一意の結合を持つポーズです。 格子（この形式）は、（簡単に）準モジュラリティ（サブセットラティスを含む）およびクラスタリング（パーティションラティス）の理論CS、およびドメイン理論（あまりよく理解していません）および静的に表示されます分析。 しかし、格子上のメトリック構造を使用するアプリケーションに興味があります。単純な例は、任意の反単調サブモジュラー関数（反単調は、場合が計量 X ≤ Y 、F （X ）≤ F （Y ）D （X 、Y ）= 2 、F （X ∧ Y ）- 、F （X ）- F （Y ）f：X→ …
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位置が制約されたトポロジカルソートの複雑さ
Iは入力DAGとして与えられていの各頂点の頂点さらにいくつかで標識されている。GGGnnnxxxS(x)⊆{1,…,n}S(x)⊆{1,…,n}S(x) \subseteq \{1, \ldots, n\} トポロジカルソート全単射であるの頂点からへようにすべてのため、、からパスがある場合ににおける次に、。すべてのに対してようなトポロジカルなが存在するかどうかを判断したいと思います。GGGfffGGG{1,…,n}{1,…,n}\{1, \ldots, n\}xxxyyyxxxyyyGGGf(x)≤f(y)f(x)≤f(y)f(x) \leq f(y)GGGxxxf(x)∈S(x)f(x)∈S(x)f(x) \in S(x) この決定問題の複雑さは何ですか？ [注：明らかにこれはNPにあります。許可された頂点/位置のペアのグラフを見ると、順序に違反するためにペアリング間の無向エッジが競合しているため、クリークごとに最大1つのペア、最大で1つのペアを選択する、互いに素なクリークのグラフが表示されます位置と頂点ごとに最大1つのペア-それは3次元マッチングに関連しているように見えますが、この特定の問題の追加構造ではまだ難しいかどうかわかりません。]
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poset上の単調な述語を学習するために必要な最悪の数の質問
検討(X,≤)(X,≤)(X, \leq)上の有限poset nnnアイテム、およびPPP上未知単調述語XXX（いずれかのために、すなわち、xxx、y∈Xy∈Xy \in Xあれば、P(x)P(x)P(x)及びx≤yx≤yx \leq y次いでP(y)P(y)P(y)）。私は評価できるPPP一つのノードを提供することにより、x∈Xx∈Xx \in Xと場合見つけ出すP(x)P(x)P(x)成立するかではありません。私の目標は、ノードxのセットを正確に決定することですx∈Xx∈Xx \in Xように、P(x)P(x)P(x)のいくつかの評価として使用して、保持PPPできるだけ。（以前のすべてのクエリの回答に応じてクエリを選択できます。すべてのクエリを事前に計画する必要はありません。） SSS(X,≤)(X,≤)(X, \leq)PPPPPPr(S,P)r(S,P)r(S, P)SSSPPPPPPSSSwr(S)=maxPr(S,P)wr(S)=maxPr(S,P)wr(S) = \max_P r(S, P)S′S′S'wr(S′)=minSwr(S)wr(S′)=minSwr(S)wr(S') = \min_S wr(S) 私の質問は次のとおりです：入力としてポゼットを指定すると、最適な戦略の最悪の実行時間をどのように決定できますか？(X,≤)(X,≤)(X, \leq) [空のposetのクエリが必要であり（各単一ノードについて尋ねる必要がある）、クエリの全体の順序が必要であることは明らかです（バイナリ検索を実行して検索しますフロンティア）。より一般的な結果は、次の情報理論的な下限です。述語可能な選択肢の数は、の反の数です単調な述語との最大要素として解釈されるアンチチェーン）。したがって、各クエリは1ビットの情報を提供するため、少なくともが必要になります。nnn⌈log2n⌉⌈log2⁡n⌉\lceil \log_2 n \rceilPPPNXNXN_X(X,≤)(X,≤)(X, \leq)PPP⌈log2NX⌉⌈log2⁡NX⌉\lceil \log_2 N_X \rceil前の2つのケースを含むクエリ。これは厳しく制限されているのでしょうか、それとも学習はアンチチェーンの数よりも漸近的に多くのクエリを必要とするような構造のポーズですか？]
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ラベル付きDAGの辞書編集的に最小限のトポロジカルソート
非環式有向グラフ我々が入力として与えられている問題考える、標識機能からいくつかのセットに全順序と我々が求められ（例えば、整数）、及び辞書編集的に最小のトポロジカルソートを計算します。より正確には、トポロジカルソートのGでの列挙であるVとして\ mathbfは、{V} = V_1、\ ldots、v_n、その結果、全てのためにI \ NEQ Jからのパスがあるときはいつでも、V_Iにv_jではλ V L &lt; LG=(V,E)G=(V,E)G = (V, E)λλ\lambdaVVVLLL&lt;L&lt;L<_LλGGGλλ\lambdaV v = v 1、… 、v n i ≠ j v i v j GGGGVVVv=v1,…,vnv=v1,…,vn\mathbf{v} = v_1, \ldots, v_ni≠ji≠ji \neq jviviv_ivjvjv_jGGG、それからi &lt;jでなければなりませんi&lt;ji&lt;ji < j。このようなトポロジカルソートのラベルは、\ mathbf {l} = \ lambda（v_1）、\ ldots、\ lambda（v_n）として取得されるSの要素のシーケンスです。そのようなシーケンス（すべての長さ| V |）の辞書式順序は、l_i &lt;_L l_iのような位置iがある場合、\ mathbf …
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powerset
パワーセット2上の単調な述語を考えます。n | （包含順）。"単調"と私は意味：∀ のx 、yの∈ 2 | n | その結果、X ⊂ Y、もしP （X ）、次いでP （Y ）。私は、すべての最小限の要素を見つけるためにアルゴリズムを探していますPを、すなわち、X ∈ 2 | n | そのようなP （x ）PPP2|n|2|n|2^{|n|}∀x,y∈2|n|∀x,y∈2|n|\forall x, y \in 2^{|n|}x⊂yx⊂yx \subset yP(x)P(x)P(x)P(y)P(y)P(y)PPPx∈2|n|x∈2|n|x \in 2^{|n|}P(x)P(x)P(x)しかし、¬ P （Y ）。2の幅| n | は（ n∀y⊂x∀y⊂x\forall y \subset x¬P(y)¬P(y)\neg P(y)2|n|2|n|2^{|n|}、指数関数的に多くの最小要素が存在する可能性があるため、そのようなアルゴリズムの実行時間は一般に指数関数的である可能性があります。しかし、出力のサイズが多項式であるこのタスクのアルゴリズムが存在する可能性はありますか？(nn/2)(nn/2)n \choose n/2 [コンテキスト：より一般的な質問が尋ねられましたが、出力のサイズにおけるアルゴリズムの複雑さを評価する試みはありませんでした。たとえば、最小限の要素が1つしかないと仮定すると、この回答に続いてバイナリ検索を実行して見つけることができます。ただし、さらに最小限の要素を探し続けたい場合は、既知の情報に時間を無駄にせずに検索を続行できるように、に関する現在の情報を維持する必要があります。これを行い、出力のサイズの多項式時間ですべての最小要素を見つけることは可能ですか？]PPP 理想的には、これが一般的なDAGで実行できるかどうかを理解したいのですが、。2|n|2|n|2^{|n|}
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半順序の線形拡張に関する質問
部分注文のコレクションが与えられた場合、トポロジソートは、コレクションの合計注文に対する拡張があるかどうかを通知します（この場合の拡張は、各部分注文と一致する合計注文です）。 私はバリエーションに遭遇しました： セット修正します。あなたは与えられているシーケンスσ 1、... σ k個から引き出された要素のV繰り返しなし（シーケンスが1との間の長さのものである| V |）。VVVσ1,…σkσ1,…σk\sigma_1, \ldots \sigma_kVVV|V||V||V| チェーンの結果のコレクション（半順序として表示）が拡張を許可するように、各シーケンスの方向（順方向または逆方向）を修正する方法はありますか？ この問題はよく知られていますか？ 注：方向はシーケンス全体に対して選択されます。したがって、シーケンスが場合、そのように保持するか、5 − 4 − 2 − 1に反転できます。1−2−4−51−2−4−51-2-4-55−4−2−15−4−2−15-4-2-1にことができますが、他には何もできません。
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非可換群の要素の順列により何が達成できるかを決定する
有限グループ修正します。私は次の決定問題に興味があります：入力はGのいくつかの要素であり、それらに半順序があり、問題は順序を満たし、その中の要素の構成がそうであるような要素の順列があるかどうかです順序は、グループの中立要素eを生成します。GGGGGGeee 正式には、テストの問題GGGは次のとおりで、グループが修正されます。GGG 入力：PからGまでのラベリング関数μを持つ有限半順序集合。（P、&lt; ）(P,&lt;)(P, <)μμ\muPPPGGG 出力：の線形拡張が存在するか否かを（すなわち、全順序（P 、&lt; '）すべてについてようにX 、Y ∈ P、X &lt; Yが意味X &lt; ' yは）、の要素書き込むよう、ことPを全順序を以下の&lt; "としてのx 1、... 、xはnは、我々が持っているμ （X 1）⋅ ⋯ ⋅ μ （PPP(P,&lt;′)(P,&lt;′)(P, <')x,y∈Px,y∈Px, y \in Px&lt;yx&lt;yx < yx&lt;′yx&lt;′yx <' yPPP&lt;′&lt;′<'x1,…,xnx1,…,xnx_1, \ldots, x_n。μ(x1)⋅⋯⋅μ(xn)=eμ(x1)⋅⋯⋅μ(xn)=e\mu(x_1) \cdot \cdots \cdot \mu(x_n) = e グループ場合、Gテストの問題は明らかにNPにあります。私の質問は次のとおりです。Gテスト問題がNP困難であるようなグループGはありますか？GGGGGGGGGGGG 同等の問題ステートメントに関するいくつかのコメント： ポーズと線形拡張の言語は、DAGとトポロジカル順序の言語と同等に置き換えることができます。つまり、必要に応じて、入力をグループ要素でラベル付けされた頂点を持つDAGとして、また、入力DAGのトポロジカルソートが達成するかどうかを尋ねる出力として考えることができます。eee 一つは、代わりに私たちはposetを与えられている困難な問題を検討することもできおよびG ∈ G、およびかどうかを尋ねるグラム（というよりeが）実現することができます。実際、より強力な問題は上記に還元されます。eが（P ′、&lt; ）で実現できるかどうかを尋ねることができます。ここでP ′はPですが、他のすべてよりも小さいg …
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格子の問題
半順序の計算問題（たとえば、認識、ジャンプ数、比較可能グラフの認識など）については、かなりの作業が行われています。 ラティスに固有の作業が行われたことに興味があります。私は周りを検索しましたが、ラティスの類似の作品はあまり見つかりませんでした。 特に、以下の格子問題が調査されたかどうかに興味があります。 格子認識：DAGまたは半順序が与えられた場合、それは実際には格子ですか？ 格子比較可能性グラフの認識：無向グラフGが与えられた場合、Gのエッジは、結果として生じる方向が格子になるように方向付けることができますか？ ラティスの結合既約要素の決定/カウント 特定のラティスが分散/モジュラーであるかどうかの判断
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完全な格子上の単調関数の一意の固定点（一意の最小/最大の固定点ではない）を保証するための十分な条件
Tarskiの不動点定理は、完全なラティス上の単調演算子の不動点は完全なラティスであると述べています。結果として、完全なラティス上の単調演算子に対して、一意の最大固定点と一意の最小固定点があります。 フィックスポイントは一意にすることもできますが、一般的には多数にすることができます。 私の質問は、単調関数が完全なラティス上で一意の固定点を持つことができるのはどのような条件下ですか？固有のフィックスポイントを保証するための実用的な十分条件はありますか？プロパティを指定する単調演算子がある場合があるため、これを知っておくと便利です。それが本当に指定したい最大の固定点であるか最小の固定点であるかを綴るのは、簡単なことではありません。場合によっては、2つが一致し、上からまたは下から繰り返すと同じ結果が得られることがわかっているので、より単純またはより効率的な方を喜んで選択できます。
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