半順序の線形拡張に関する質問

部分注文のコレクションが与えられた場合、トポロジソートは、コレクションの合計注文に対する拡張があるかどうかを通知します（この場合の拡張は、各部分注文と一致する合計注文です）。

私はバリエーションに遭遇しました：

セット修正します。あなたは与えられているシーケンスから引き出された要素の繰り返しなし（シーケンスが1との間の長さのものである）。 $V$ $\sigma_1, \ldots \sigma_k$ $V$ $|V|$

チェーンの結果のコレクション（半順序として表示）が拡張を許可するように、各シーケンスの方向（順方向または逆方向）を修正する方法はありますか？

この問題はよく知られていますか？

注：方向はシーケンス全体に対して選択されます。したがって、シーケンスが場合、そのように保持するか、反転できます。 $1-2-4-5$ $5-4-2-1$ にことができますが、他には何もできません。

ds.algorithms reference-request order-theory

— スレシュ・ベンカット
ソース

各シーケンスの長さが

場合、各シーケンスを無向エッジと考えることができ、無向グラフをDAGに向けることができるかどうかを求めています（サイクルがない場合）。しかし、貪欲なアルゴリズムも機能します。端から始めて、それを任意に方向付けて、できるだけ長く続けます。動けなくなった場合、それは不可能であることがわかります。バリエーションに合わせて試しましたか？動作するようです。

2

$2$

— チャンドラチェクリ

ええと、すべての無向グラフはDAGになるように方向付けることができます。頂点の順序を選択し、その順序を使用してエッジを方向付けるだけです。

— デビッドエップスタイン

あなたはもちろん正しい、私はまっすぐに考えていません。

— チャンドラチェクリ

私のバリエーションでは、各サブシーケンスの長さは正確に4なので、Yuryの答えが始まります。この時点での唯一の希望は、サブシーケンスが非常に特殊な構造を持ち、相互に関連していることです。しかし、一般的なハンマーはありません。

— スレシュヴェンカト

すべてのシーケンスの長さが3である場合、問題はBetweennessとして知られています。Betweenness問題でさえNP困難です。この問題では、頂点のセットと、と間にある形式制約のセットが与えられます。私たちの目標は、満たされた制約の数を最大にするようにすべての頂点を順序付けることです。Opantry [1]は、この問題の決定版がNP困難であることを証明しました。チョーとスーダン[2]は、それがSNP困難であることを証明しました。 $u$ $v$ $w$

インスタンスが完全に満足できる場合、ChorとSudanによる問題の最もよく知られている近似アルゴリズムは、すべての制約の1/2を満たします。

[1] J.オパントリー。Total Ordering Problem、SIAM Journal on Computing、8（1）：111—114、1979年2月。

[2] B.チョーとM.スーダン。betweenness への幾何学的アプローチ、SIAM Journal on Discrete Mathematics、11（4）：511-523、1998年11月。

編集：問題の決定版がNP困難であることを明確にした。

— ユリー
ソース

ユーリー、それはすべての制約が満たされるかどうかの決定問題も難しいことを意味しますか？

— チャンドラチェクリ

はい、決定の問題はNP困難です。また、一部の

それも満足させるためにNP困難である

すべての制約（すなわち、対応する約束の問題はNP困難である）の割合を。

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

1 - ϵ

$1-\epsilon$

— ユーリー

インスタンスである場合ではない 、完全に満足できる、問題は非常に難しいです。もちろん、あなたが満足することができます

ランダムな順序をとることによって、すべての制約のを。満足するUGC-困難である

すべての制約の場合

毎に定数の

[ - CCC 2009 Charikar、Guruswami、Manokaran]。

1 / 3

$1/3$

1 / 3 + ε

$1/3+ \varepsilon$

O P T = 1 - ε

$OPT = 1 -\varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon > 0$

— ユーリー

| σ_{i} | = 3

$|\sigma_i| =3$

i

$i$

I

${\cal I}$

y_{i}

$y_i$

σ_{i}

$\sigma_i$

σ_{i}^{'}

$\sigma_i'$

y_{i}

$y_i$

σ_{i}

$\sigma_i$

I^{'}

${\cal I}'$ 頂点上

V \cup {y_{i}}

$V \cup\{y_i\}$ シーケンスあり

{σ_{i}^{'}}

$\{\sigma_i'\}$ 。それは簡単にわかります

I^{'}

${\cal I}'$ 満足できる

I

${\cal I}$ 満足でした-解決策を取ります

I

${\cal I}$ 、それぞれ入れて

y_{i}

$y_i$ のすべての頂点の前のいずれか

V

$V$ またはすべての頂点の後

V

$V$ の向きに応じて

σ_{i}

$\sigma_i$ （の相対的な順序

{y_{i}}

$\{y_i\}$ 無関係です）。

— ユーリー