poset上の単調な述語を学習するために必要な最悪の数の質問

検討$(X, \leq)$上の有限poset $n$アイテム、および$P$上未知単調述語$X$（いずれかのために、すなわち、$x$、$y \in X$あれば、$P(x)$及び$x \leq y$次いで$P(y)$）。私は評価できる$P$一つのノードを提供することにより、$x \in X$と場合見つけ出す$P(x)$成立するかではありません。私の目標は、ノードxのセットを正確に決定することです$x \in X$ように、$P(x)$のいくつかの評価として使用して、保持$P$できるだけ。（以前のすべてのクエリの回答に応じてクエリを選択できます。すべてのクエリを事前に計画する必要はありません。）

$S$$(X, \leq)$$P$$P$$r(S, P)$$S$$P$$P$$S$$wr(S) = \max_P r(S, P)$$S'$$wr(S') = \min_S wr(S)$

私の質問は次のとおりです：入力としてポゼットを指定すると、最適な戦略の最悪の実行時間をどのように決定できますか？$(X, \leq)$

[空のposetのクエリが必要であり（各単一ノードについて尋ねる必要がある）、クエリの全体の順序が必要であることは明らかです（バイナリ検索を実行して検索しますフロンティア）。より一般的な結果は、次の情報理論的な下限です。述語可能な選択肢の数は、の反の数です単調な述語との最大要素として解釈されるアンチチェーン）。したがって、各クエリは1ビットの情報を提供するため、少なくともが必要になります。$n$$\lceil \log_2 n \rceil$$P$$N_X$$(X, \leq)$$P$$\lceil \log_2 N_X \rceil$前の2つのケースを含むクエリ。これは厳しく制限されているのでしょうか、それとも学習はアンチチェーンの数よりも漸近的に多くのクエリを必要とするような構造のポーズですか？]

これは完全な答えではありませんが、コメントするには長すぎます。

私はバインドされているため例見つけたと思うタイトではありませんが。$\lceil \log_2 N_X \rceil$

次のポーズを検討してください。接地セットは、及びiがより小さいのB jの全てについてI 、J ∈ { 1 、2 }。他のペアは比較できません。（ハッセ図は4サイクルです）。$X=\{a_1, a_2, b_1, b_2\}$$a_i$$b_j$$i,j\in\{1,2\}$$4$

単調な特性をポーズのアップセットで特定します。このposetは、7体の不調有する、{ B 1 }、{ B 2 }、{ B 1、B 2 }、{ 1、B 1、B 2 }、{ 2、B 1、B 2 }、{ Aを1、a 2、b 1$\emptyset$$\{b_1\}$$\{b_2\}$$\{b_1,b_2\}$$\{a_1,b_1,b_2\}$$\{a_2,b_1,b_2\}$、およびこのポーズには7つのアンチチェーンがあります。これは、アンチチェーンがアップセットと1対1で対応しているためです。だから、 ⌈ ログ2 N X ⌉ = ⌈ ログイン2 7 ⌉ = 3をこのposetため。$\{a_1,a_2,b_1,b_2\}$$\lceil \log_2 N_X \rceil=\lceil \log_2 7 \rceil = 3$

さて、敵対的な議論によって、どの戦略も少なくとも4つのクエリが必要であることを示します（したがって、すべての要素をクエリする必要があります）。任意の戦略を修正しましょう。

戦略が最初に照会する場合は1を、そして敵の答えは、「P （1）を保持しません。」：次に、我々は、5つの可能性が残されている∅、{ B 1 }、{ B 2 }、{ B 1、B 2 }、{ 2、B 1、B 2 }。したがって、そうであるかを決定するために、我々は、少なくとも必要⌈ ログ2 5 ⌉ = 3$a_1$$P(a_1)$$\emptyset$$\{b_1\}$$\{b_2\}$$\{b_1,b_2\}$$\{a_2,b_1,b_2\}$$\lceil \log_2 5\rceil = 3$より多くのクエリ。合計で、4つのクエリが必要です。最初のクエリがある場合は、同じ引数が適用されます2。$a_2$

戦略が最初に照会すると、敵は「P （b 1）が成立します。」と答えます。次に、5つの可能性が残っています：{ b 1 }、{ b 1、b 2 }、{ a 1、b 1、b 2 }、{ a 2、b 1、b 2 }、{ a 1、a 2、$b_1$$P(b_1)$$\{b_1\}$$\{b_1,b_2\}$$\{a_1,b_1,b_2\}$$\{a_2,b_1,b_2\}$。したがって、以前と同じように少なくとも3つのクエリが必要です。合計で、4つのクエリが必要です。最初のクエリが b 2の場合、同じ引数が適用されます。$\{a_1,a_2,b_1,b_2\}$$b_2$

我々が取る場合このposetの並列コピーを、それが持つ7つのk antichainsを、したがって結合が提案されている⌈ ログ2 7 K ⌉ = 3 Kを。ただし、各コピーには4つのクエリが必要なので、少なくとも4 kのクエリが必要です。$k$$7^k$$\lceil \log_2 7^k \rceil = 3k$$4k$

おそらく、より大きなギャップを持つより大きなポーズがあります。しかし、この引数は係数を改善するだけです。

ここで、問題は、クエリがサーチスペースを均等に分割しない状況であるように見えます。そのような場合、敵は大きな半分を強制的に残すことができます。

彼らの論文では、Every Poset Has a Central Element、LinialおよびSaksは、ポゼット理想的な同定問題を解決するために必要なクエリの数が最大でK 0 log 2 i （X ）であることを示しています（K 0 = 1 /（2 - ログ2（1 + ログ2 5 ））及びI （Xは）の理想の数であるX。彼らが「理想」と呼ぶものは、実際には低いセットです$X$$K_0 \log_2 i(X)$$K_0 = 1/(2 - \log_2(1 + \log_2 5))$$i(X)$$X$そして、単調な述語とそれらが保持しないポイントの下位セットとの間には明らかな1対1の対応があります。「識別問題」は、私の設定のようにノードを照会することで識別することです。私が興味を持っている問題とを扱う。$i(X) = N_X$

そのため、彼らの結果によると、情報理論的下限は比較的小さな乗法定数まで厳密です。したがって、これは基本的に、必要な質問の数の質問を関数として乗法定数まで解決します。log2 N XとK 0 log 2 N Xの間です。$N_X$$\log_2 N_X$$K_0 \log_2 N_X$

リニアルとサックスは、シアラーによる個人的なコミュニケーションを引用して、K 0のわずかに小さい一部のK 1に対して下限を証明できる既知の順序があると述べています（これは、K 1の値を小さくするためにこのアプローチを試みた岡本義雄の回答。$K_1 \log_2 N_X$$K_1$$K_0$$K_1$

これは完全に質問の数を計算するの私の質問に答えていないから、必要な以来、しかし、コンピューティングN XをからXは＃P完全である私は少し希望があるという感覚を持っています、。（この点についてのコメントは歓迎します。）それでも、LinialとSaksによるこの結果は啓発的です。$X$$N_X$$X$

For the Boolean n-cube $(\{0, 1\}^n, \leq)$ (or, equivalently, for the poset $(2^S, \subseteq)$ of all subsets of an n-element set), the answer is given by Korobkov and Hansel's theorems (from 1963 and 1966, respectively). Hansel's theorem [1] states that an unknown monotone Boolean function (i.e., an unknown monotone predicate on this poset) can be learned by a deterministic algorithm making at most $\phi(n) = \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor} + \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor + 1}$ queries (that is, asking $\phi(n)$ questions in the worst case). This algorithm matches the lower bound of Korobkov's theorem [2], which says that $\phi(n) - 1$ queries do not suffice. (So Hansel's algorithm is optimal in the worst-case setting.) An algorithm in both statements is understood as a deterministic decision tree.

The logarithm of the number of antichains in $(\{0, 1\}^n, \le)$ is asymptotically equal to $\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor} \sim 2^n / \sqrt{\pi n / 2}$$\log N_X$$\phi(n) \sim 2 \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$ for this poset.

Unfortunately, I have not been able to find a good treatment of Hansel's algorithm in English available on the web. It is based on a lemma that partitions the n-cube into $\phi(n)$ chains with special properties. Some description can be found in [3]. For the lower bound, I don't know any reference to a description in English.

Since I am familiar with these results, I can post a description on arXiv, if the treatment in Kovalerchuk's paper does not suffice.

If am not much mistaken, there have been attempts to generalize Hansel's approach, at least to the poset $(E_k^n, \le)$, where $(E_k, \le)$ is a chain $0 < 1 < \ldots < k - 1$, although I cannot give any reference straight away. For the Boolean case, people have also investigated notions of complexity other than worst-case for this problem.

[1] G. Hansel, Sur le nombre des fonctions booléennes monotones de n variables. C. R. Acad. Sci. Paris, 262(20), 1088-1090 (1966)

[2] V. K. Korobkov. Estimation of the number of monotonic functions of the algebra of logic and of the complexity of the algorithm for finding the resolvent set for an arbitrary monotonic function of the algebra of logic. Soviet Math. Doklady 4, 753-756 (1963) (translation from Russian)

[3] B. Kovalerchuk, E. Triantaphyllou, A. S. Deshpande, E. Vityaev. Interactive learning of monotone Boolean functions. Information Sciences 94(1), 87-118 (1996) (link)

[ 注：次の引数は機能しないようですが、誰かが修正できるように、他の人が同じ間違いをしないようにここに残しています。問題は、以下のように単調関数の学習/識別の指数関数的な下限が、問題の漸増多項式アルゴリズムと必ずしも矛盾しないことです。そして、後者はポリ時間で2つの単調関数の相互双対性をチェックするのと同等です。]

私はあなたの推測を信じます $\log N_X$一般に偽です。本当にそうである場合$\log N_X$クエリが必要です。これは、メンバーシップクエリを使用して単調関数を学習する上で非常に強力な下限を意味します。特に、posetをしましょう$X$ 通常の順序でブールキューブになります（必要に応じて、 $X$ はのパワーセットです $\{1,...,n\}$ with $\subseteq$ as its partial order). The number $M$ of maximal antichains in $X$ satisfies $\log M = (1 + o(1))\binom{n-1}{\lfloor n/2 \rfloor}$ [1]. If your idea on $\log N_X$ is correct, then there is some monotone predicate on $X$ that requires essentially $\binom{n-1}{n/2} \approx 2^n$ queries. In particular, this implies a lower bound of essentially $2^n$ for the complexity of any algorithm solving this problem.

However, if I've understood correctly [which I now know I hadn't], your problem is equivalent to checking the mutual duality of two monotone functions, which can be done in quasi-polynomial time (see the intro of this paper by Bioch and Ibaraki, which cites Fredman and Khachiyan), contradicting anything close to a $2^n$ lower bound.

[1] Liviu Ilinca and Jeff Kahn. Counting maximal antichains and independent sets. arXiv:1202.4427