powerset

パワーセット2上の単調な述語を考えます。n | （包含順）。"単調"と私は意味：∀ のx 、yの∈ 2 | n | その結果、X ⊂ Y、もしP （X ）、次いでP （Y ）。私は、すべての最小限の要素を見つけるためにアルゴリズムを探していますPを、すなわち、X ∈ 2 | n | そのようなP （x $P$$2^{|n|}$$\forall x, y \in 2^{|n|}$$x \subset y$$P(x)$$P(y)$$P$$x \in 2^{|n|}$$P(x)$しかし、¬ P （Y ）。2の幅| n | は（$\forall y \subset x$$\neg P(y)$$2^{|n|}$、指数関数的に多くの最小要素が存在する可能性があるため、そのようなアルゴリズムの実行時間は一般に指数関数的である可能性があります。しかし、出力のサイズが多項式であるこのタスクのアルゴリズムが存在する可能性はありますか？$n \choose n/2$

[コンテキスト：より一般的な質問が尋ねられましたが、出力のサイズにおけるアルゴリズムの複雑さを評価する試みはありませんでした。たとえば、最小限の要素が1つしかないと仮定すると、この回答に続いてバイナリ検索を実行して見つけることができます。ただし、さらに最小限の要素を探し続けたい場合は、既知の情報に時間を無駄にせずに検索を続行できるように、に関する現在の情報を維持する必要があります。これを行い、出力のサイズの多項式時間ですべての最小要素を見つけることは可能ですか？]$P$

理想的には、これが一般的なDAGで実行できるかどうかを理解したいのですが、。$2^{|n|}$

あなたの問題は、学習文献で「メンバーシップクエリを使用した単調関数の学習」として知られています。すべてのmintermを識別することができる単調関数のクラスは、「メンバーシップクエリを使用して多義的に学習可能」として知られています。

多項式時間アルゴリズムの存在はまだ開いているようです。シュムレヴィッチ等。「ほとんどすべての単調なブール関数は、メンバーシップクエリを使用して多項式学習できる」ことを証明します。我々はまた、その必要がある場合番目の最小項は時間多項式で生成され、NおよびTによって示されるように、問題は、単調二重化に相当しBioch茨城。以下は、単調な二重化に対応した調査です。$t$$n$$t$