理論CSにおけるポーズ/格子上の計量構造の応用

この用語はオーバーロードされているため、最初に簡単な定義から始めます。ポーズは、部分順序付与されたセットです。二つの要素所与、我々は定義することができ上部に結合し、それらの少なくともとして（参加）を、と同様に定義する下限最大として（結合）（出会う）を。≤ 、B ∈ X X ∨ Y X X ∧ $X$$\le$$a,b \in X$$x \vee y$$X$$x \wedge y$

ラティスは、任意の2つの要素が一意のミートと一意の結合を持つポーズです。

格子（この形式）は、（簡単に）準モジュラリティ（サブセットラティスを含む）およびクラスタリング（パーティションラティス）の理論CS、およびドメイン理論（あまりよく理解していません）および静的に表示されます分析。

しかし、格子上のメトリック構造を使用するアプリケーションに興味があります。単純な例は、任意の反単調サブモジュラー関数（反単調は、場合が計量 X ≤ Y 、F （X ）≤ F （Y ）D （X 、Y ）= 2 、F （X ∧ Y ）- 、F （X ）- F （Y $f : X \rightarrow R$$x \le y, f(x) \le f(y)$

$$d(x,y) = 2f(x \wedge y) - f(x) - f(y)$$

このメトリックは、データセットの2つの異なるクラスタリングを比較する方法として広く使用されています。

メトリック構造を気にするラティスの他のアプリケーションはありますか？ドメイン理論/静的解析アプリケーションに興味がありましたが、これまでのところメトリックの必要性は見ていません。

まず、コメント。質問の種類は、「メトリック」という単語を幾何学的にどのように意味するかによって異なります。セマンティクスおよび静的分析でウルトラメトリックスを使用することはかなり一般的ですが、ウルトラメトリックスは幾何学的な解釈ではなくコンビナトリアルを持つ傾向があります。（これは、ドメイン理論がトポロジの幾何学的な使用ではなく、組み合わせのフレーバーを持っているという観察の変形です。）

そうは言っても、これがプログラムの証明でどのように現れるかの例を示します。まず、プログラムの証明で、プログラムを記述する式が成り立つことを示したいと思います。一般に、この式は必ずしもブール値で解釈される必要はありませんが、真理値のラティスの要素から引き出すことができます。その場合、真の式は、格子の最上部に等しいものにすぎません。

さらに、非常に自己参照的なプログラム（たとえば、自己修正コードを広範囲に使用するプログラム）を指定する場合、問題は非常に困難になる可能性があります。通常、プログラムの再帰的な仕様を指定しますが、定義をハングアップする明確な帰納的構造がない場合があります。この問題を解決するには、多くの場合、真理値ラティスに追加のメトリック構造を装備すると役立ちます。次に、固定小数点が必要な述語が厳密に収縮的であることを示すことができる場合、Banachの固定小数点定理に訴えて、必要な再帰的述語が明確に定義されていると結論付けることができます。

私が最もよく知っているケースは「ステップインデックス」と呼ばれます。この設定では、真理値のラティスをNの下向きに閉じたサブセットとし、その要素を「プロパティが保持する評価シーケンスの長さ」として大まかに解釈できます。通常、ミートとジョインは交差と結合であり、ラティスが完全であるため、ヘイティングの意味も定義できます。ラティスには、2つのラティス要素間の距離を2 − nにすることでウルトラメトリックを装備することもできます。ここで、は1つのセットの最小要素であり、他のセットではありません。$\Omega$$\mathbb{N}$$2^{-n}$$n$

次に、Banachの縮約マップの定理は、縮約述語が一意の固定小数点を持っていることを示しています。直観的に、これは、nステップを保持するバージョンを使用してn + 1ステップを保持する述語を定義できる場合、実際には述語の明確な定義があることを意味します。次に、述語が⊤ = Nに等しいことを示すと、述語が常にプログラムを保持していることがわかります。$p : \Omega \to \Omega$$n+1$$n$$\top = \mathbb{N}$

より一般的に使用されるCPOの代替として、ArnoldとNivatは、表示的セマンティクスのドメインとして（完全な）メトリック空間を調査しました[1]。彼の論文では、Bonsangue [2]はそのような表示的意味論と公理的意味論の二重性を探求した。非常に包括的な全体像が得られるため、ここで言及します。

[1]：アーノルド、Mニバート：無限ツリーのメトリック解釈と非決定論的再帰プログラムのセマンティクス。理論。計算。科学 11：181-205（1980）。
[2]：MM Bonsangue Topological Duality in Semantics volume 8 of ENTCS、Elsevier 1998。

以下がその1つです（偶然、私の読み取りキューの先頭から）。

スワラット・チョードリ、スミット・グルワニ、ロベルト・ルブリナーマン。プログラムの継続性分析。POPL 2010。

著者は、単純なループを使用して命令型言語の表示セマンティクスを提供し、基になる製品メトリック空間の値からの関数として式を解釈します。重要なのは、「if」やループが存在する場合でも、どのプログラムが連続関数を表すかを判断することです。特定の入力と出力に制限された連続性についての質問も可能です。（これは、パスの長さは連続しているが、実際のパスではないダイクストラのアルゴリズムを分析するために重要です。）

メトリック空間を必要とするものはまだ見ていません。これまでのところ、一般的なトポロジを使用して行うことができたようです-しかし、私は3ページ目です。

別の回答を追加することをおologiesびしますが、これは上記の他の回答とは無関係です。

並行性の学生をいらいらさせる（または教育する）ために私が日常的に使用する計量空間は、無限の痕跡です。それが誘発するトポロジーは、安全性と活性特性をそれぞれ限界閉鎖および密集として特性化するために使用されるAlpernとSchneider [1]そのものです。

$$\begin{array}{@{}rcl} d : \Sigma^\omega\times\Sigma^\omega & \longrightarrow & \mathbb{R}_{{}\ge 0}\\ % (\sigma,\tau) & \mapsto & 2^{-\sup \{~i\in\mathbb{N} ~|~ \sigma|_i = \tau|_i~\}} \end{array}$$ $\sigma|_i$$\sigma$$i$$2^{-\infty} = 0$

振り返ってみると、この答えには格子またはポゼット構造の本質的な要素も欠けていることがわかります。しかし、そのような格子構造は、クラークソンとシュナイダーがハイパープロパティと呼んでいるものに1レベル上に移動するときに存在します[2]。執筆時点では、メトリックをどのように解除するかはわかりません。

[1] BアルペルンとFBシュナイダー。活性を定義します。IPL、21（4）：181–185、1985。
[2] MRクラークソンとFBシュナイダー。ハイパープロパティ。CSF、p51-65、IEEE、2008。