間隔のリスト間の単調全単射

次の問題があります。

入力：間隔とTの 2つのセット（すべてのエンドポイントは整数です）。 クエリ：単調全単射f ：S → Tはありますか？$S$$T$
$f:S \to T$

全単射は、とTの包含順序のセットに対して単調です。 ∀ X ⊆ Y ∈ S 、F （X ）⊆ F （Y $S$$T$

[ここでは、逆の条件は必要ありません。更新：逆条件が必要とされた場合、すなわち、が、対応する封入posetsの同型テストになるので、これはPTIMEであろう（ましたオーダー寸法 MöhringによってPTIMEにある構造によって2）、順序集合の計算上扱いやすいクラス、定理5.10、P。61。$\forall X, Y, X\subseteq Y \Leftrightarrow f(X) \subseteq f(Y)$ ]

問題はます。与えられたfが単調全単射かどうかを効率的にチェックできます。$\mathsf{NP}$$f$

この問題の多項式時間アルゴリズムはありますか？それとも難しいですか？$\mathsf{NP}$

質問は、より一般的に、次数次元 2の2 つの与えられた姿勢の間の単調全単射の存在として述べることができます 。

この質問への回答に触発された削減を使用すると、問題は、寸法が制限されていない場合のハードであることがわかります。ただし、寸法が制限されている場合に削減が機能するかどうかは明らかではありません。$\mathsf{NP}$

次元が（2だけではなく）任意の定数によって制限されている場合の扱いやすさについても知りたいです。

これは、逆の条件のない問題がNP困難であることを証明する試みです。

$S$

 [S]  +-a-+ +-b-+
      +---c-----+  c<a, c<b (here < is interval inclusion)

$T$

 [T]  +-x-+      f(a)=x, f(b)=y, f(c)=z
      +-y---+    
      +-z-----+  z<x, z<y OK

$3m$$A = \{a_1,a_2,...,a_{3m}\}$$B$$m$$A_1,...,A_m$$A_i$$B$

$max = \sum a_i + 3m$

$S$$3m$ $BI_i$$3*max$$max$$BI_i$$a_i$$L$$BI_i$ （図の青い線）。

$T$$L$$m$ $G_j$$G_j$$B$

SとTの間に（SからTへの一方向で）区間包含を維持する全単射が存在するとします。

$max$$BI_{j_1},BI_{j_2},BI_{j_3}$$S$$G_j$$BI_{j_k}$$G_j$

同様の方法で、全単射が存在する場合、元の単項3パーティション問題に解決策があることが証明できます。

$m=2, A = \{3,3,2,2,2,2\}, B = 7$

注：コメントで確認できるように、SとTの青い間隔Lは、削減に必須ではありません。

$I_i \subseteq I_j$$(I_j \rightarrow I_i)$